Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\~~neq0~~</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.

==Nullstellenform==

Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.

==Scheitelpunktform==

Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==

Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

==Beispiele==

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==~~Nullstellenform==~~

===Nullstellenform mit positiver und negativer [[Nullstelle]]===

~~Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)~~=~~a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''~~Nullstellenform~~'''. Die Nullstellen sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.~~

<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> die Nullstellenform von <math>f</math>.

~~===Beispiel~~ mit positiver und negativer Nullstelle===

<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind Nullstellen von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> in Nullstellenform.

===~~Beispiel~~ mit positiven Nullstellen===

===Nullstellenform mit positiven [[Nullstelle|Nullstellen]]===

<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind Nullstellen von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> in Nullstellenform.

<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> die Nullstellenform von <math>g</math>.

==~~Scheitelpunktform~~==

===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===

~~Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)~~=a({x-e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]

Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f~~\left~~(x~~\right~~)=-2({x-2)}^2+1</math>]]

~~===Beispiel===~~

Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der ~~Funktion~~ weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

<math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>

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<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>

~~Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet.~~ Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.

===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===

==Schnittpunkte von Parabeln ~~und Geraden~~ berechnen==

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.

Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angwendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

~~===Beispiele Schnittpunkte von Parabel und Gerade~~===

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====

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Zeile 57:

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

Zeile 76:

Zeile 74:

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

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[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 ==Definition==
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.
+Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
 Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
+==Nullstellenform==
+Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
+==Scheitelpunktform==
+Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
+==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==
+Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.
 ==Beispiele==
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 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/64UjI-hUQIU?si=2PmAymgjsY8d9YsQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/_1k7_zaN4q4?si=tNfzoDlVV4Q2tRmx" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Nullstellenform==
+===Nullstellenform mit positiver und negativer [[Nullstelle]]===
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die Nullstellen sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
+<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> die Nullstellenform von <math>f</math>.
-===Beispiel mit positiver und negativer Nullstelle===
-<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind Nullstellen von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> in Nullstellenform.
-===Beispiel mit positiven Nullstellen===
+===Nullstellenform mit positiven [[Nullstelle|Nullstellen]]===
-	<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind Nullstellen von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> in Nullstellenform.
+	<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> die Nullstellenform von <math>g</math>.
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-==Scheitelpunktform==
+===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]
+Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:
-[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>]]
-===Beispiel===
-Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:
 <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>
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 <math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>
-Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
+Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
+===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===
-==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==
+Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.
-Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angwendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.
-===Beispiele Schnittpunkte von Parabel und Gerade===
-Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.
 ====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====
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 Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
-<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1\ |+1</math>
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1~|~+1</math>
-<math>{2x}^2+4x+5=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+4x+5=-2x~|~+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+5=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+5=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2,5=0</math>
@@ Zeile 76: / Zeile 74: @@
 Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
-<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5\ |+0,5</math>
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5~|~+0,5</math>
-<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x~|~+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+4,5=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+4,5=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2,25=0</math>
@@ Zeile 95: / Zeile 93: @@
 <math>{2x}^2+4x+4=-2x\ |+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+4=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+4=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2=0</math>
@@ Zeile 117: / Zeile 115: @@
 <math>h(x)=f(x)</math>
-<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4\ |-2x^2</math>
+<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4~|~-2x^2</math>
-<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4\ |-4x</math>
+<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4~|~-4x</math>
-<math>{-5x}^2-6x+1=4\ |-4</math>
+<math>{-5x}^2-6x+1=4~|~-4</math>
-<math>{-5x}^2-6x-3=0\ |\div(-5)</math>
+<math>{-5x}^2-6x-3=0~|~:(-5)</math>
 <math>x^2+1,2x+0,6=0</math>
@@ Zeile 136: / Zeile 134: @@
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FAqb0Ld_4Do?si=NaHcBx5HFGIFgCcf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]