Lineare Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn ~~gilt:~~ <math>d=m \cdot c+b</math>.

Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn <math>d=m \cdot c+b</math> gilt.

~~===Beispiel lineare Funktion===~~

~~[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]~~

Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist:

~~<math>y=2x+2</math>~~

~~===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===~~

~~===Beispiel Punktprobe===~~

Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt ~~<math>3\neq2\cdot2+2=6</math>~~. ~~Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.~~

==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung==

Zeile 25:

Zeile 10:

Wenn <math>m=0</math> ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.

~~===Beispiel Punktsteigungsform ermitteln===~~

~~[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]~~

~~Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math> dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:~~

~~<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math>~~

~~===Beispiel y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===~~

~~Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:~~

~~<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>~~

~~<math>3=1,5\cdot 2+b</math>~~

~~<math>3=3+b\ |\ -3 </math>~~

~~<math>0=b</math>~~

~~Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.~~

==Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen==

Zeile 57:

Zeile 27:

===Parallele und ~~orthogonale lineare~~ Funktionen ~~berechnen~~===

==Lagebeziehungen zwischen Geraden==

Orthogonale Geraden ~~besitzen genau~~ einen ~~Schnittpunkt und parallele~~ Geraden ~~besitzen keinen Schnittpunkt~~.

===Parallele Geraden===

[[Datei:LineareFunktionParalleleGeraden.png|mini|Parallele Gerade mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=2 x+1</math> ]]

Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Für parallele Geraden gilt <math>m_1=m_2</math>, d. h. die Steigungen sind gleich.

===Orthogonale Geraden===

[[Datei:LineareFunktionOrthogonaleGeraden.png|mini|Orthogonale Geraden mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=-\frac{1}{2} x+3</math>]]

Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Für orthogonale Geraden gilt <math>m_1 \cdot m_2=-1</math> bzw. <math>m_1 =-\frac{1}{m_2}</math>.

~~<html><iframe width~~=~~"280" height~~=~~"157~~.~~5" src~~=~~"https:~~//~~www~~.~~youtube.com~~/~~embed~~/~~VhOcdx_ojEk?si=UKZ5qgkGqAhQldV3" title="YouTube video player" frameborder="~~0~~" allow="accelerometer; autoplay; clipboard~~-~~write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen~~></~~iframe~~></~~html~~>

==Beispiele==

===Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion===

[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]

Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=2x+2</math>.

===~~Beispiel~~===

~~[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)~~=-~~2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x~~-~~1</math> und <math>g\left(x\right)=~~-~~2x+3</math~~>]]

~~Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1~~</~~math~~> ~~und <math>g\left(x\right)=-2x+3~~</~~math~~>.

~~Gleichsetzen liefert~~

===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===

Gegeben ist die lineare Funktion <math>f(x)=-2x+1</math>. Für <math>x=-2</math> berechnen wir den Funktionswert durch <math>f(-2)=-2 \cdot (-2) +1 =5</math>. Für den Funktionswert <math>f(x)=-1</math> berechnen wir den <math>x</math>-Wert durch

<math>1=x</math>.

~~und Einsetzen von~~ <~~math~~>x</~~math~~> ~~ergibt~~

<math>f~~\left~~(~~1\right~~)=2\~~cdot 1-1~~=1</math>

===Punktprobe durchführen===

Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.

~~Also ist der '''Schnittpunkt'''~~ <~~math~~>~~S\left(1|1\right)~~</~~math~~>

~~<html><iframe width~~=~~"280" height~~=~~"157~~.~~5" src~~=~~"https:~~//~~www.youtube.com~~/~~embed/Vl1HDpwCOgc?si~~=~~y9f9QTZUw5Zsp85l" title~~=~~"YouTube video player" frameborder~~=~~"0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard~~-~~write; encrypted~~-~~media; gyroscope; picture~~-in-~~picture; web~~-~~share" allowfullscreen></iframe>~~</~~html~~>

===Punktsteigungsform ermitteln===

[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]

Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math> dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:

==~~Nullstellen~~==

===y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===

~~'''Nullstellen''' sind die~~ <math>~~x-Werte~~</math>~~, bei denen der Graph~~ die <math>x~~-Achse~~</math> ~~schneidet. Für eine lineare Funktion~~

Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:

<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>

~~wird die Nullstelle berechnet, indem~~ <math>y=~~0</math> eingesetzt und nach <math>x~~</math> ~~umgeformt wird:~~

Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.

===~~Beispiel Nullstellenberechnung~~===

~~[[Datei:LineareFunktionNullstelle.png|mini|[[Graph]] zur Nullstelle <math>x~~=\ -~~\frac{1}{2}~~</~~math~~> ~~der Funktion <math>y=2x+1~~</~~math~~>]]

~~Gegeben ist die lineare Funktion~~

===Schnittpunkt ermitteln===

[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]

Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.

~~Setzt man <math>y=0</math> ein, folgt~~

Gleichsetzen liefert

~~Also ist~~ <math>x=\ ~~-\frac{~~1~~}{2}~~</math> ~~die Nullstelle.~~

~~===Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle===~~

und Einsetzen von <math>x</math> ergibt

~~[[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|[[Graph]] der Funktion~~ <math>f(x~~)=0x+1~~</math> ~~die keine Nullstelle hat]]~~

~~Gegeben ist die lineare Funktion~~

<math>f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1</math>

~~Die Steigung~~ ist ~~0 und~~ der ~~y-Achsenabschnitt ist~~ 1~~. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:~~

Also ist der '''Schnittpunkt''' <math>S\left(1|1\right)</math>

<~~math~~>0=~~0x+1~~</~~math~~>

~~<math>0~~= ~~1 </math>~~

===Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen===

Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am [[Graph|Graphen]] der Funktion, dieser verläuft parallel zur <math>x</math>-Achse und hat damit keine Nullstellen.

==~~=Beispiel~~ lineare ~~Funktion mit unendlich vielen Nullstellen~~ ===

~~[[Datei:LineareFunktionenUnendlichVieleNullstellen.png|mini|[[Graph]] von~~ <~~math~~>f:~~y=0x+0<~~/~~math> mit unendlich vielen Nullstellen]]~~

~~Gegeben ist die lineare Funktion~~

~~<math>f:y=0x+0<~~/~~math>~~

~~Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0~~. ~~Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:~~

~~<math>0~~=~~0x+0</math>~~

~~<math>~~0= ~~0 </math>~~

~~Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math~~>x</~~math~~>~~-Wert eine Nullstelle von <math>f~~</~~math~~>~~. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse.~~

===[[Graph]] einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen===

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 ==Definition==
-Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn gilt: <math>d=m \cdot c+b</math>.
+Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn <math>d=m \cdot c+b</math> gilt.
-===Beispiel lineare Funktion===
-[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]
-Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist:
-<math>y=2x+2</math>
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VPeVCI3rFUQ?si=AetKtWp6hWlI9OTt" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/G9tk7CHKHCA?si=UcqmObFTcXC82LIN" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-===Beispiel Punktprobe===
-Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/c22sCWXvLBU?si=ODhKc53mv3Hargs2" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung==
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 Wenn <math>m=0</math> ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.
-===Beispiel Punktsteigungsform ermitteln===
-[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
-Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math>  dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:
-<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math>
-===Beispiel y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===
-Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:
-<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>
-<math>3=1,5\cdot 2+b</math>
-<math>3=3+b\ |\ -3 </math>
-<math>0=b</math>
-Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VovlNXfugb8?si=vkEsmsV6SaCXUgKf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen==
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 			<math>y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2</math>
-===Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen===
+==Lagebeziehungen zwischen Geraden==
-Orthogonale Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt und parallele Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
+===Parallele Geraden===
+[[Datei:LineareFunktionParalleleGeraden.png|mini|Parallele Gerade mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=2 x+1</math> ]]
+Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Für parallele Geraden gilt <math>m_1=m_2</math>, d. h. die Steigungen sind gleich.
+===Orthogonale Geraden===
+[[Datei:LineareFunktionOrthogonaleGeraden.png|mini|Orthogonale Geraden mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=-\frac{1}{2} x+3</math>]]
+Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Für orthogonale Geraden gilt <math>m_1 \cdot m_2=-1</math> bzw. <math>m_1 =-\frac{1}{m_2}</math>.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VhOcdx_ojEk?si=UKZ5qgkGqAhQldV3" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+==Beispiele==
+===Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion===
+[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]
+Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=2x+2</math>.
-===Beispiel===
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VPeVCI3rFUQ?si=AetKtWp6hWlI9OTt" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]
-Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.
-Gleichsetzen liefert
+===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===
+Gegeben ist die lineare Funktion <math>f(x)=-2x+1</math>. Für <math>x=-2</math> berechnen wir den Funktionswert durch <math>f(-2)=-2 \cdot (-2) +1 =5</math>. Für den Funktionswert <math>f(x)=-1</math> berechnen wir den <math>x</math>-Wert durch
-<math>2x-1=-2x+3\ |+1</math>
+<math>f(x)=-2x+1</math>
-<math>2x=-2x+4\ |+2x</math>
+<math>-1=-2x+1 ~|~ -1</math>
-<math>4x=\ 4\ |\div4 </math>
+<math>-2=-2x~|~:(-2)</math>
-<math>x=\ 1</math>
+<math>1=x</math>.
-und Einsetzen von <math>x</math> ergibt
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/G9tk7CHKHCA?si=UcqmObFTcXC82LIN" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-<math>f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1</math>
+===Punktprobe durchführen===
+Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.
-Also ist der '''Schnittpunkt''' <math>S\left(1|1\right)</math>
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/c22sCWXvLBU?si=ODhKc53mv3Hargs2" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Vl1HDpwCOgc?si=y9f9QTZUw5Zsp85l" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+===Punktsteigungsform ermitteln===
+[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
+Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math>  dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:
+<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math>
-==Nullstellen==
+===y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===
-'''Nullstellen''' sind die <math>x-Werte</math>, bei denen der Graph die <math>x-Achse</math> schneidet. Für eine lineare Funktion
+Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:
+<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>
-<math>y=mx+b</math>
-wird die Nullstelle berechnet, indem <math>y=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird:
+<math>3=1,5\cdot 2+b</math>
-<math>0=mx+b\ |-b</math>
+<math>3=3+b\ |\ -3 </math>
-<math>-b=\ mx\ |\  \div m</math>
+<math>0=b</math>
-<math>-\frac{b}{m}=\ x</math>
+Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.
-===Beispiel Nullstellenberechnung===
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VovlNXfugb8?si=vkEsmsV6SaCXUgKf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-[[Datei:LineareFunktionNullstelle.png|mini|[[Graph]] zur Nullstelle <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> der Funktion <math>y=2x+1</math>]]
-Gegeben ist die lineare Funktion
-<math>f:y=2x+1</math>
+===Schnittpunkt ermitteln===
+[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]
+Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.
-Setzt man <math>y=0</math> ein, folgt
+Gleichsetzen liefert
-<math>0=2x+1\ |-1</math>
+<math>2x-1=-2x+3\ |+1</math>
-<math>-1=\ 2x\ |\  \div2</math>
+<math>2x=-2x+4\ |+2x</math>
-<math>-\frac{1}{2}=\ x</math>
+<math>4x=\ 4\ |\div4 </math>
-Also ist <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> die Nullstelle.
+<math>x=\ 1</math>
-===Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle===
+und Einsetzen von <math>x</math> ergibt
-[[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]]
-Gegeben ist die lineare Funktion
-<math>f:y=0x+1</math>
+<math>f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1</math>
-Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
+Also ist der '''Schnittpunkt''' <math>S\left(1|1\right)</math>
-<math>0=0x+1</math>
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Vl1HDpwCOgc?si=y9f9QTZUw5Zsp85l" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-<math>0= 1 </math>
+===Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen===
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VhOcdx_ojEk?si=UKZ5qgkGqAhQldV3" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am [[Graph|Graphen]] der Funktion, dieser verläuft parallel zur <math>x</math>-Achse und hat damit keine Nullstellen.
-===Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen ===
-[[Datei:LineareFunktionenUnendlichVieleNullstellen.png|mini|[[Graph]] von <math>f:y=0x+0</math> mit unendlich vielen Nullstellen]]
-Gegeben ist die lineare Funktion
-<math>f:y=0x+0</math>
-Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
-<math>0=0x+0</math>
-<math>0= 0 </math>
-Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse.
 ===[[Graph]] einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen===
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/pZy8ephRE3s?si=nWaI_GC-os-IMmOC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]