Matrix: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
|||
| (6 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. | Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen werden häufig mit [[Gozintograph]]en graphisch dargestellt. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
| Zeile 241: | Zeile 241: | ||
</math> | </math> | ||
==Das Skalarprodukt berechnen== | ===Das Skalarprodukt berechnen=== | ||
Der Zeilenvektor a und der Spaltenvektor b seien wie folgt gegeben: | Der Zeilenvektor a und der Spaltenvektor b seien wie folgt gegeben: | ||
<math> | <math> | ||
| Zeile 252: | Zeile 252: | ||
</math> | </math> | ||
berechnet. | berechnet. | ||
===Multiplikation von Matrizen=== | |||
Gegeben seien die Matrizen | |||
<math> | |||
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad | |||
F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} | |||
</math>, | |||
dann werden diese durch | |||
<math> | |||
E \cdot F = \begin{pmatrix} | |||
1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ | |||
3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
4 & 6 \\ | |||
10 & 12 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
miteinander multipliziert. Die Multiplikation ist nicht kommutativ, d. h. in der Regel gilt <math>E \cdot F \neq F \cdot E </math>. | |||
<math> | |||
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad | |||
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad | |||
\lambda = 2 | |||
</math> | |||
<math> | |||
\lambda \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right) | |||
</math> | |||
<math> | |||
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
===Skalarmultiplikation, Addition sowie Multiplikation kombinieren=== | |||
Das folgende Beispiel zeigt, wie die Rechenoperationen kombiniert werden können. | |||
<math> | |||
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad | |||
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad | |||
J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad | |||
\lambda = 2, \quad \mu = 3 | |||
</math> | |||
Berechnung von: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J)</math> | |||
<math> | |||
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \right) | |||
</math> | |||
Zuerst Matrixmultiplikation: | |||
<math> | |||
H \cdot J = \begin{pmatrix} | |||
1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\ | |||
2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
3 + 8 & 1 + 8 \\ | |||
6 + 2 & 2 + 2 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
11 & 9 \\ | |||
8 & 4 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Dann Skalarmultiplikationen: | |||
<math> | |||
2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad | |||
3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Schließlich Addition: | |||
<math> | |||
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
4+33 & 2+27 \\ | |||
0+24 & 6+12 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
37 & 29 \\ | |||
24 & 18 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Endergebnis: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix}</math> | |||
[[Kategorie:Lineare_Algebra]] | [[Kategorie:Lineare_Algebra]] | ||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | ||