Matrix: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. | Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen werden häufig mit [[Gozintograph]]en graphisch dargestellt. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
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\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
===Addition und Subtraktion von Matrizen=== | |||
Zwei Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert bzw. subtrahiert. Die Matrizen müssen die gleiche Dimension haben. | |||
Gegeben seien | |||
<math> | |||
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad | |||
B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
dann wird die Summe durch | |||
<math> | |||
A + B = \begin{pmatrix} | |||
1+5 & 3+2 \\ | |||
2+1 & 4+3 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
6 & 5 \\ | |||
3 & 7 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
berechnet. | |||
Gegeben seien | |||
<math> | |||
C = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad | |||
D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
dann wird die Differenz von C und D durch | |||
<math> | |||
C - D = \begin{pmatrix} | |||
7-3 & 4-1 \\ | |||
6-2 & 2-5 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
4 & 3 \\ | |||
4 & -3 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
berechnet. | |||
=== Skalarmultiplikation durchführen === | === Skalarmultiplikation durchführen === | ||
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\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
===Das Skalarprodukt berechnen=== | |||
Der Zeilenvektor a und der Spaltenvektor b seien wie folgt gegeben: | |||
<math> | |||
a = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad | |||
b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Das Skalarprodukt wird dann durch | |||
<math> | |||
a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) = 8 - 2 + 3 = 9 | |||
</math> | |||
berechnet. | |||
===Multiplikation von Matrizen=== | |||
Gegeben seien die Matrizen | |||
<math> | |||
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad | |||
F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} | |||
</math>, | |||
dann werden diese durch | |||
<math> | |||
E \cdot F = \begin{pmatrix} | |||
1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ | |||
3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
4 & 6 \\ | |||
10 & 12 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
miteinander multipliziert. Die Multiplikation ist nicht kommutativ, d. h. in der Regel gilt <math>E \cdot F \neq F \cdot E </math>. | |||
<math> | |||
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad | |||
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad | |||
\lambda = 2 | |||
</math> | |||
<math> | |||
\lambda \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right) | |||
</math> | |||
<math> | |||
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
===Skalarmultiplikation, Addition sowie Multiplikation kombinieren=== | |||
Das folgende Beispiel zeigt, wie die Rechenoperationen kombiniert werden können. | |||
<math> | |||
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad | |||
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad | |||
J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad | |||
\lambda = 2, \quad \mu = 3 | |||
</math> | |||
Berechnung von: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J)</math> | |||
<math> | |||
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \right) | |||
</math> | |||
Zuerst Matrixmultiplikation: | |||
<math> | |||
H \cdot J = \begin{pmatrix} | |||
1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\ | |||
2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
3 + 8 & 1 + 8 \\ | |||
6 + 2 & 2 + 2 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
11 & 9 \\ | |||
8 & 4 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Dann Skalarmultiplikationen: | |||
<math> | |||
2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad | |||
3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Schließlich Addition: | |||
<math> | |||
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
4+33 & 2+27 \\ | |||
0+24 & 6+12 | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
37 & 29 \\ | |||
24 & 18 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
Endergebnis: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix}</math> | |||
[[Kategorie:Lineare_Algebra]] | [[Kategorie:Lineare_Algebra]] | ||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | ||