Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.

\(m \times n\) ist das '''Format''' einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt '''quadratische Matrix'''. Die Elemente \(a_{11},...,a{mn}\) bilden die '''Hauptdiagonale''' der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben, heißt '''Einheitsmatrix'''. Eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht, heißt '''Spaltenvektor'''. Eine Matrix die nur aus einer Zeile besteht, heißt '''Zeilenvektor'''.

eine \(m \times n\)-Matrix. Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Es gilt  

Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt

Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt

A + B = \begin{pmatrix}

Es seien A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt

Gegeben seien ein Zeilenvektor <math>a \in \mathbb{R}^n</math> und Spaltenvektor <math>b \in \mathbb{R}^n</math>, dann ist das Skalarprodukt durch

\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\  b_{n}  

\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 +... + a_n \cdot b_n

Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.

Ein Unternehmen betreibt drei Steinbrüche und zwei Betonwerke. In den Betonwerken wird der Kies aus den Steinbrüchen zu Beton verarbeitet. Für den Monat Februar sind diese Transporte in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. Beispielsweise werden 150 t Kies im Februar von Steinbruch 2 nach Betonwerk 1 transportiert.

| '''S3'''  || 0,4   || 0,25

Daraus ergibt sich die Transportmatrix

90 & 100 \\

\end{pmatrix}

 

 

Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R1 und R2 die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte E1 und E2 ermittelt. Die benötigten Mengen in t werden in den folgenden Stücklisten zusammengefasst. Beispielsweise werden für die Herstellung von 1t Z1 insgesamt 3t R1 und 5t R2 benötigt. Für die Herstellung von 1t E1 werden 1t Z1, 2t Z2 und 1t Z3 benötigt.

{| class="wikitable"

!   Stückliste 1  !! Z1  !! Z2 !! Z3

|-

| '''R1'''   || 3 || 2 || 4

|-

| '''R2'''   || 5  || 1 || 3

{| class="wikitable"

| '''Z1'''  || 1 || 3

| '''Z3'''  || 1   || 2

|}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},

\quad

B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}

A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

=== Beispiel 3: Skalarmultiplikation ===

2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}

=== Beispiel 4: Matrixmultiplikation ===

C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

<math>

AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}