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Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.
Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen (insbesondere Verflechtungsmatrizen) werden häufig mit [[Gozintograph]]en grafisch veranschaulicht.


== Definition ==
== Definition ==
Eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. Das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) wird mit \(a_{ij}\) bezeichnet.
Eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Platzhaltern mit \(m \in \mathbb{N}\) Zeilen und \(n \in \mathbb{N}\) Spalten wird als '''\(m \times n\)-Matrix''' bezeichnet. \(a_{ij} \in \mathbb{R}\) ist das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).


<math>
<math>
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</math>
</math>


== Transportmatrix ==
\(m \times n\) ist das '''Format''' oder die '''Dimension''' einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt '''quadratische Matrix'''. Die Elemente \(a_{11}, \dots ,a_{nn}\) bilden die '''Hauptdiagonale''' der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben und sonst überall 0 sind, heißt '''Einheitsmatrix'''. Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, heißt '''Spaltenvektor'''. Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht, heißt '''Zeilenvektor'''.
Eine '''Transportmatrix''' wird in Transport- und Logistikprozessen verwendet. Das Element \(a_{ij}\) gibt an, wie viel Menge von Standort \(i\) zu Standort \(j\) transportiert wird.


Beispiel:
== Transponierte Matrix ==
<math>
Es sei
a_{12} = \text{Menge, die von Standort 1 nach Standort 2 transportiert wird}
:<math>
</math>
A = \begin{pmatrix}
 
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
== Kostenmatrix ==
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
Eine '''Kostenmatrix''' beschreibt Transportkosten zwischen Standorten. Das Element \(a_{ij}\) steht für die Kosten, die entstehen, wenn eine Einheit Ware von Standort \(i\) zu Standort \(j\) transportiert wird.
 
== Herstellungsmatrix ==
Herstellungsmatrizen beschreiben Input-Output-Beziehungen in Produktionsprozessen.
 
* \(RZ\)-Matrix: zeigt, wie viele Rohstoffe \(R\) benötigt werden, um Zwischenprodukte \(Z\) herzustellen.
* \(ZE\)-Matrix: zeigt, wie viele Zwischenprodukte \(Z\) benötigt werden, um Endprodukte \(E\) herzustellen.
 
== Einheitsmatrix ==
Die '''Einheitsmatrix''' \(I\) ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst.
 
<math>
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>  
eine \(m \times n\)-Matrix. Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man die Zeilen und Spalten vertauscht. Das Ergebnis ist eine \(n \times m\)-Matrix. Es gilt:


== Spaltenvektor ==
Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit einer Spalte:
<math>
<math>
v = \begin{pmatrix}
A^T = \begin{pmatrix}
v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n
a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>  
 
== Transponierte Matrix ==
Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht.
 
<math>
A^T_{ij} = A_{ji}
</math>


== Addition ==
== Addition ==
Zwei Matrizen dürfen nur addiert werden, wenn sie dieselben Dimensionen haben.
Zwei Matrizen lassen sich nur addieren, wenn sie das exakt gleiche Format haben. Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann werden diese komponentenweise addiert:
<math>
:<math>
(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
A + B = \begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


== Subtraktion ==
== Subtraktion ==
Analog zur Addition:
Analog zur Addition gilt für die Subtraktion zweier \(m \times n\)-Matrizen A und B:
<math>
:<math>
(A - B)_{ij} = A_{ij} - B_{ij}
A - B = \begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


== Skalarmultiplikation ==
== Skalarmultiplikation ==
Jedes Matrixelement wird mit einem Skalar \(\lambda\) multipliziert.
Eine Matrix wird mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert, indem man jeden einzelnen Eintrag der Matrix mit dieser Zahl multipliziert. Es sei A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt:
<math>
:<math>
(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot A_{ij}
\lambda \cdot A = \begin{pmatrix}
\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \dots & \lambda \cdot a_{1n} \\
\lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \dots & \lambda \cdot a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda \cdot a_{m1} & \lambda \cdot a_{m2} & \dots & \lambda \cdot a_{mn}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


== Skalarprodukt ==
== Skalarprodukt ==
Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren derselben Länge lautet:
Gegeben seien ein Zeilenvektor <math>a \in \mathbb{R}^n</math> und ein Spaltenvektor <math>b \in \mathbb{R}^n</math> (beide Vektoren müssen dieselbe Dimension <math>n</math> haben), dann ist das Skalarprodukt definiert durch:
<math>
:<math>
u \cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i
a\cdot b=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots &  a_{n}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\  b_{n}  
\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \dots + a_n \cdot b_n
</math>
</math>


== Multiplikation ==
== Multiplikation ==
Die Matrixmultiplikation ist möglich, wenn die Spaltenzahl von \(A\) gleich der Zeilenzahl von \(B\) ist.
Zwei Matrizen lassen sich nur miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
<math>
 
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}
Es sei A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix. Dann wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird (Merkregel: '''"Zeile mal Spalte"'''). Zur besseren Übersicht verwendet man hierfür häufig das [[Falksches_Schema|Falksche Schema]]. Das Ergebnis ist eine neue \(m \times n\)-Matrix.
 
== Rang ==
Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.
 
Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit <math>\operatorname{rang}(A)</math>.
 
Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:
* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.
* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
 
== Inverse ==
Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:
:<math>
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n
</math>
</math>
wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann unter anderem mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.


== Beispiele ==
== Beispiele ==


=== Beispiel 1: Aufstellen einer Herstellungsmatrix ===
=== Aufstellen einer Transportmatrix und einer Kostenmatrix ===
Ein Unternehmen betreibt drei Steinbrüche (S1 bis S3) und zwei Betonwerke (B1 und B2). Die in einem Monat transportierten Mengen Kies (in t) sowie die Transportkosten (in €/t) sind tabellarisch gegeben:
 
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
! Produkt !! Rohstoff A !! Rohstoff B
!   Transport  !! B1  !! B2
|-
|-
| Z1 || 2 || 3
| '''S1'''  || 100  || 200
|-
|-
| Z2 || 1 || 4
| '''S2'''  || 150  || 300
|-
| '''S3'''  || 90  || 110
|}
|}


Daraus ergibt sich die \(RZ\)-Matrix:
{| class="wikitable"
!  Kosten  !! B1  !! B2
|-
| '''S1'''  || 0,5  || 2
|-
| '''S2'''  || 0,3  || 1
|-
| '''S3'''  || 0,4  || 0,25
|}
 
Daraus ergibt sich die Transportmatrix <math>T</math> und die Kostenmatrix <math>K</math>:
 
:<math>
T = \begin{pmatrix}
100 & 200 \\
150 & 300 \\
90 & 110 \\
\end{pmatrix}, \quad
K = \begin{pmatrix}
0,5 & 2 \\
0,3 & 1 \\
0,4 & 0,25 \\
\end{pmatrix}
</math>
 
=== Aufstellen von Herstellungsmatrizen ===
Ein Unternehmen stellt aus Rohstoffen (R1, R2) über Zwischenprodukte (Z1, Z2, Z3) schließlich Endprodukte (E1, E2) her.
 
{| class="wikitable"
! Stückliste 1 !! Z1 !! Z2 !! Z3
|-
| '''R1''' || 3 || 2 || 4
|-
| '''R2''' || 5 || 1 || 3
|}
 
{| class="wikitable"
! Stückliste 2 !! E1 !! E2
|-
| '''Z1''' || 1 || 3
|-
| '''Z2''' || 2 || 4
|-
| '''Z3''' || 1 || 2
|}
 
Damit ergeben sich die Herstellungsmatrix <math>RZ</math> (Rohstoffe zu Zwischenprodukten) und <math>ZE</math> (Zwischenprodukte zu Endprodukten):
:<math>
RZ = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad
ZE = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
</math>
 
=== Transponierte Matrix berechnen ===
Gegeben sei die Matrix <math>A</math>. Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält man <math>A^T</math>:
:<math>
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
A^T = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}
</math>


=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
Gegeben seien
<math>
<math>
RZ = \begin{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad
2 & 3 \\
B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
1 & 4
</math>
dann wird die Summe durch komponentenweise Addition berechnet:
:<math>
A + B = \begin{pmatrix}
1+5 & 3+2 \\  
2+1 & 4+3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 5 \\
3 & 7
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


=== Beispiel 2: Addition und Subtraktion ===
Gegeben seien
<math>
<math>
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},
C = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad
\quad
D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Differenz von C und D durch komponentenweise Subtraktion berechnet:
:<math>
C - D = \begin{pmatrix}
7-3 & 4-1 \\
6-2 & 2-5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
4 & -3
\end{pmatrix}
</math>
 
=== Skalarmultiplikation durchführen ===
Gegeben sei die Matrix <math>B</math> und der Skalar <math>\lambda = 3</math>. Die Multiplikation ergibt:
:<math>
3 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
0 & 3 & 5 \\
7 & 1 & 6
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1 \\
3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 5 \\
3 \cdot 7 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 6
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
6 & 12 & 3 \\
0 & 9 & 15 \\
21 & 3 & 18
\end{pmatrix}
</math>
</math>


Addition:
=== Das Skalarprodukt berechnen ===
Der Zeilenvektor <math>a</math> und der Spaltenvektor <math>b</math> seien wie folgt gegeben:
:<math>
a = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad
b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
</math>
Das Skalarprodukt wird dann berechnet durch:
:<math>
a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) = 8 - 2 + 3 = 9
</math>
 
=== Multiplikation von Matrizen ===
Gegeben seien die Matrizen
<math>
<math>
A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad
F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>.
Diese werden nach dem Prinzip "Zeile mal Spalte" multipliziert:
:<math>
E \cdot F = \begin{pmatrix}
1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\
3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  
4 & 6 \\  
10 & 12
\end{pmatrix}
</math>
</math>
''Wichtig:'' Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen gilt <math>E \cdot F \neq F \cdot E </math>.


Subtraktion:
=== Kombination von Skalarmultiplikation und Addition ===
Gegeben seien:
<math>
<math>
A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2
</math>
Kombinierte Berechnung gemäß Klammerregeln (zuerst addieren, dann mit dem Skalar multiplizieren):
:<math>
2 \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}
</math>
</math>


=== Beispiel 3: Skalarmultiplikation ===
=== Komplexe Kombination verschiedener Rechenoperationen ===
Gegeben seien:
<math>
<math>
2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2, \quad \mu = 3
</math>
</math>


=== Beispiel 4: Matrixmultiplikation ===
Zu berechnen ist der Term: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J)</math>
<math>
 
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
'''1. Schritt: Matrixmultiplikation (Klammer auflösen)'''
:<math>
H \cdot J = \begin{pmatrix}
1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\
2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
11 & 9 \\
8 & 4  
\end{pmatrix}
</math>
 
'''2. Schritt: Skalarmultiplikationen'''
:<math>
2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad
3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix}
</math>
</math>


<math>
'''3. Schritt: Addition der Ergebnisse'''
AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}
:<math>
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  
37 & 29 \\
24 & 18
\end{pmatrix}
</math>
</math>
Endergebnis: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix}</math>


[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
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[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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