Rentenrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

(10 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)

Zeile 1:

Bei der Rentenrechnung ~~analysieren wir regelmäßige Zahlungen von~~ gleichhohen ~~Beträgen, die zu einem Zinssatz~~ und für eine Laufzeit ~~angelegt werden~~.

Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit jährlich [[Zinssatz|verzinst]].

==Rente==

Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer '''Rente'''. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.

==Nachschüssige und vorschüssige ~~Renten~~==

==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte==

Eine Rente heißt '''nachschüssig~~''' bzw. '''vorschüssig~~''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r</math> zu Jahresende ~~bzw~~. Jahresanfang gezahlt werden.

Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresanfang gezahlt werden.

~~===Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenendwert===~~

Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist

Für n Raten der Höhe r ~~und~~ einem Jahreszins von p ist

*<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>´der '''nachschüssige Rentenendwert'''.

*<math>R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> der '''vorschüssige Rentenendwert'''.

<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> (~~nachschüssig~~)

*<math>R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> der '''nachschüssige Rentenbarwert'''.

*<math>R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> der '''vorschüssige Rentenbarwert'''.

~~bzw.~~

==Definition==

Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, [[Zinssatz]], Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.

~~<math>R_v\left(n\right)~~=~~r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> (vorschüssig)~~

~~mit <math>q=1+p</math>~~ der '''~~nach-~~''' bzw. ~~'''vorschüssige~~ Rentenendwert~~'''.~~

~~===Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenbarwert===~~

~~Den '''nach-'''~~ bzw. ~~'''vorschüssigen~~ Rentenbarwert~~'''~~

~~<math>R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> (nachschüssig)~~

~~bzw.~~

~~<math>R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> (vorschüssig)~~

~~erhalten wir, indem wir den Rentenendwert abzinsen~~.

==Beispiele==

Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr ~~der Einzahlung~~ keine Zinsen, sondern nur für die darauffolgenden Jahre.

Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr 0 keine [[Zins|Zinsen]], sondern nur für die darauffolgenden 5 Jahre. Die letzte Rate wird gar nicht verzinst, weil diese am Ende der Laufzeit eingezahlt wird.

===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen===

Zeile 51:

Zeile 38:

|}

Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen ~~'''~~nachschüssigen Rentenendwert~~'''~~ von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:

Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:

<math>R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59</math>

Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr ~~der Einzahlung~~ ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall

Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr 0 ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall

<math>R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19</math>

Zeile 66:

Zeile 53:

===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen===

Den ~~'''~~nach-~~'''~~ bzw. ~~'''~~vorschüssigen Rentenbarwert~~'''~~ in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:

Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:

<math>R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62</math>

Zeile 77:

Zeile 64:

===Rate berechnen===

Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und q=1,06 berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:

Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und <math>q=1,06</math> berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:

<math>R_n~~\left~~(n~~\right~~)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |∶\frac{q^n-1}{q-1}</math>

<math>r=R_n\left(n\right)\cdot\frac{q-1}{q^n-1}</math>

Zeile 86:

Zeile 73:

<math>r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000</math>

Alternativ können die gegebenen Werte direkt in die Formel eingesetzt werden. Anschließend wird nach <math>r</math> umgeformt.

===Laufzeit berechnen===

~~[[Datei:RentenrechnungTaschenrechner.png|mini|Laufzeit mit Tabellenfunktion des Taschenrechners ermitteln]]~~

Um die Laufzeit <math>n</math> zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die [[Taschenrechner_verwenden#Finanzmathematik|Tabellenfunktion des Taschenrechners]] und geben die Formel ein.

Um die Laufzeit n zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein.

In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n~~\left~~(6~~\right~~)\~~approx34~~.876,59</math> beträgt~~. Ende im Tabellenbereich gibt an, für wie viele Jahre der nachschüssige Rentenendwert berechnet werden soll~~.

In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n(6)\approx 34.876,59</math> beträgt.

~~===Bemerkung===~~

~~Es muss immer die im Sachzusammenhang sinnvolle Rentenformel ausgewählt werden, bevor die Tabellenfunktion oder die Umformung nach r angewendet wird!~~

==Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel==

Zeile 107:

Zeile 92:

<math>R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ </math>

<math>R_n~~\left~~(n~~\right~~)\cdot q-R_n~~\left~~(n~~\right~~)=r\cdot q^n-r

<math>R_n(n)\cdot q-R_n(n)=r\cdot q^n-r

R_n~~\left~~(n~~\right~~)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ |∶(q-1)</math>

R_n(n)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ | : (q-1)</math>

<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Bei der Rentenrechnung analysieren wir regelmäßige Zahlungen von gleichhohen Beträgen, die zu einem Zinssatz und für eine Laufzeit angelegt werden.
+Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit jährlich [[Zinssatz|verzinst]].
 ==Rente==
 Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer '''Rente'''. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.
-==Nachschüssige und vorschüssige Renten==
+==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte==
-Eine Rente heißt '''nachschüssig''' bzw. '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r</math> zu Jahresende bzw. Jahresanfang gezahlt werden.
+Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresanfang gezahlt werden.
-===Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenendwert===
+Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist
-Für n Raten der Höhe r und einem Jahreszins von p ist
+*<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>´der '''nachschüssige Rentenendwert'''.
+*<math>R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> der '''vorschüssige Rentenendwert'''.
-<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> (nachschüssig)
+*<math>R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> der '''nachschüssige Rentenbarwert'''.
+*<math>R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> der '''vorschüssige Rentenbarwert'''.
-bzw.
+==Definition==
+Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, [[Zinssatz]], Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.
-<math>R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> (vorschüssig)
-mit <math>q=1+p</math> der '''nach-''' bzw. '''vorschüssige Rentenendwert'''.
-===Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenbarwert===
-Den '''nach-''' bzw. '''vorschüssigen Rentenbarwert'''
-<math>R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> (nachschüssig)
-bzw.
-<math>R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> (vorschüssig)
-erhalten wir, indem wir den Rentenendwert abzinsen.
 ==Beispiele==
-Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr der Einzahlung keine Zinsen, sondern nur für die darauffolgenden Jahre.
+Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr 0 keine [[Zins|Zinsen]], sondern nur für die darauffolgenden 5 Jahre. Die letzte Rate wird gar nicht verzinst, weil diese am Ende der Laufzeit eingezahlt wird.
 ===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen===
@@ Zeile 51: / Zeile 38: @@
 |}
-Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen '''nachschüssigen Rentenendwert''' von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:
+Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:
 <math>R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59</math>
-Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr der Einzahlung ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall
+Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr 0 ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall
 <math>R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19</math>
@@ Zeile 66: / Zeile 53: @@
 ===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen===
-Den '''nach-''' bzw. '''vorschüssigen Rentenbarwert''' in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:
+Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:
 <math>R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62</math>
@@ Zeile 77: / Zeile 64: @@
 ===Rate berechnen===
-Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und q=1,06 berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:
+Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und <math>q=1,06</math> berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:
-<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |∶\frac{q^n-1}{q-1}</math>
+<math>R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |:\frac{q^n-1}{q-1}</math>
 <math>r=R_n\left(n\right)\cdot\frac{q-1}{q^n-1}</math>
@@ Zeile 86: / Zeile 73: @@
 <math>r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000</math>
+Alternativ können die gegebenen Werte direkt in die Formel eingesetzt werden. Anschließend wird nach <math>r</math> umgeformt.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YmY2KMdITLk?si=DwLOwT7ycmN7E_Ae" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ===Laufzeit berechnen===
-[[Datei:RentenrechnungTaschenrechner.png|mini|Laufzeit mit Tabellenfunktion des Taschenrechners ermitteln]]
+Um die Laufzeit <math>n</math> zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die [[Taschenrechner_verwenden#Finanzmathematik|Tabellenfunktion des Taschenrechners]] und geben die Formel ein.
-Um die Laufzeit n zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein.
-In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n\left(6\right)\approx34.876,59</math> beträgt. Ende im Tabellenbereich gibt an, für wie viele Jahre der nachschüssige Rentenendwert berechnet werden soll.
+In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n(6)\approx 34.876,59</math> beträgt.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/-4AXmeSYQ9w?si=zRidzXr5PgoOiKgi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-===Bemerkung===
-Es muss immer die im Sachzusammenhang sinnvolle Rentenformel ausgewählt werden, bevor die Tabellenfunktion oder die Umformung nach r angewendet wird!
 ==Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel==
@@ Zeile 107: / Zeile 92: @@
 <math>R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ </math>
-<math>R_n\left(n\right)\cdot q-R_n\left(n\right)=r\cdot q^n-r
+<math>R_n(n)\cdot q-R_n(n)=r\cdot q^n-r
-R_n\left(n\right)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ |∶(q-1)</math>
+R_n(n)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ | : (q-1)</math>
 <math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>
+[[Kategorie:Finanzmathematik]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]