Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

==Null- und Gegenhypothese==

Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

==Definition==

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

* Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.

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Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].

* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.

* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.

==Fehler 1. Art==

Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

==Fehler 2. Art==

Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

==~~Beispiele~~==

== Anwendungen ==

~~===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===~~

*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

~~Eine Maschine produziert~~ in ~~Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter~~ der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (**~~einseitiger Test nach oben~~**).

*Risikoabschätzung in Versicherungen

*Analyse von Produktionsprozessen

*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

~~**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**~~

== Beispiele ==

~~Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist~~

~~:<math>E(X)~~ = ~~n \cdot p_0~~ = ~~20 \cdot 0,05~~ = ~~1</math>.~~

~~Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.~~

**2. Beobachtung:**

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

~~In der~~ Stichprobe ~~werden~~ <math>X ~~= 2~~</math> fehlerhafte Teile gefunden.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).

~~**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**~~

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

~~Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:~~

:<math>~~P(X~~ \~~ge 2)~~ = ~~1 - P(X \le 1)~~</math>

~~Berechne <math>P(X \le~~ 1~~)</math>~~:

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

* Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>

* Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>

~~Damit:~~

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>P(X \~~ge 2)~~ = ~~1 - (0,358 +~~ 0,~~377)~~ = ~~0,265~~</math>.

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

**4. Entscheidung:**

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.

Da <math>~~0,265~~ > 0,05</math>~~, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''~~.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.

~~Die Nullhypothese wird **nicht verworfen**.~~

Berechnung:

~~Zwei fehlerhafte Teile sind also unter~~ <math>~~H_0~~</math> ~~nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.~~

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>

~~===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===~~

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>

~~Eine Stichprobe von~~ <math>n=50</math> ~~Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese~~ <math>~~H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 =~~ 0~~,02~~</math>~~. Es soll auf einem Signifikanzniveau von~~ <math>\~~alpha = 0,05~~</math> ~~getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.~~

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

**1. ~~Erwartungswert und Annahmebereich~~:**

'''2. Beobachtung:'''

~~Der Erwartungswert unter~~ <math>~~H_0</math> ist~~

<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

~~:<math>E(~~X) = ~~n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1~~</math>.

~~Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet~~.

**2. ~~Beobachtung~~:**

'''3. Entscheidung:'''

~~In der Stichprobe werden~~ <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile ~~gefunden~~.

Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Die ~~Wahrscheinlichkeit~~, ~~mindestens 3~~ fehlerhafte Teile ~~zu finden, lautet:~~

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

:<math>~~P(X \ge 3)~~ = ~~1 - P~~(~~X \le~~ 2)</math>

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

~~Berechne <math>P(X \le 2)</math>:~~

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

:<math>~~P(X \le 2) =~~ \~~sum_{x~~=~~0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx~~ 0,~~953~~</math>

~~Dann~~:

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

~~:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>~~

~~**4. Entscheidung:**~~

<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Da <math>0,~~047 < 0,05~~</math>~~, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.~~

~~Die Nullhypothese wird **verworfen**: Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.~~

~~===Anwendungen===~~

Berechnung des kritischen Wertes:

* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>

* Risikoabschätzung in Versicherungen

:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>

* Analyse von Produktionsprozessen

* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Berechnung des kritischen Wertes:

:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Berechnung des kritischen Wertes:

:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
+Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
 ==Null- und Gegenhypothese==
 Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:
-* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
+* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
-* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
+* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
 ==Definition==
-Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
+Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
 * Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.
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 Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].
+* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.
+* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
-* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
+* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
 * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
 ==Fehler 1. Art==
-Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
+Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
 ==Fehler 2. Art==
-Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
+Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
-Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
-==Beispiele==
+== Anwendungen ==
-===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (**einseitiger Test nach oben**).
+*Risikoabschätzung in Versicherungen
+*Analyse von Produktionsprozessen
+*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**
+== Beispiele ==
-Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-:<math>E(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
-**2. Beobachtung:**
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
-**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
-Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
-Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-* Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
-* Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
-Damit:
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-**4. Entscheidung:**
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.
-Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.
-Die Nullhypothese wird **nicht verworfen**.
+Berechnung:
-Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>
-===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
-Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
-**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**
+'''2. Beobachtung:'''
-Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.
-:<math>E(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
-Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
-**2. Beobachtung:**
+'''3. Entscheidung:'''
-In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
-**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
-Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
-:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
-Dann:
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
-**4. Entscheidung:**
+<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
-Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
-Die Nullhypothese wird **verworfen**: Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
-===Anwendungen===
+Berechnung des kritischen Wertes:
-* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
+:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>
-* Risikoabschätzung in Versicherungen
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>
-* Analyse von Produktionsprozessen
-* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]