Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

==Null- und Gegenhypothese==

Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

==Definition==

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

* Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.

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Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].

* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.

* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.

==Fehler 1. Art==

Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

==Fehler 2. Art==

Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

==~~Beispiele~~==

== Anwendungen ==

~~===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===~~

*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

~~Es wird eine Stichprobe~~ von ~~<math>n=50</math> Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau~~ von ~~<math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.~~

*Risikoabschätzung in Versicherungen

*Analyse von Produktionsprozessen

*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

~~Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:~~

== Beispiele ==

~~:<math>X \sim B(50; 0,02)</math>~~

~~Wird in der Stichprobe~~ <~~math~~>X=3</~~math> beobachtet, gilt:~~

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

~~:<math>P(X \ge 3)~~ = 1 - ~~P(X \le 2)~~ = 1 - ~~\sum_{x=0}^2 \binom{50}{k} 0,02^k (0,98)^{50~~-~~k} \approx 0,047~~</~~math~~>

~~Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als~~ <math>~~\alpha~~=0,05</math> ist~~, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''. Die Nullhypothese wird verworfen~~.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).

~~===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===~~

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

~~Eine kleinere Stichprobe umfasst <math>n=20</math> Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>.~~ Es ~~wird mit~~ einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.

~~Es werden <math>X=2</math> fehlerhafte Teile gezählt~~. ~~Dann gilt:~~

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

:~~<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264</math>~~

~~Da diese Wahrscheinlichkeit größer als~~ <math>\~~alpha~~=0,05</math> ~~ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''. Die Nullhypothese wird nicht verworfen~~.

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

~~===Anwendungen===~~

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

* Risikoabschätzung in Versicherungen

Berechnung:

* Analyse von Produktionsprozessen

:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>

* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Berechnung der kritischen Zahl:

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>

:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:

:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
+Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
 ==Null- und Gegenhypothese==
 Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:
-* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
+* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
-* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
+* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
 ==Definition==
-Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
+Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
 * Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.
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 Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].
+* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.
+* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
-* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
+* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
 * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
 ==Fehler 1. Art==
-Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
+Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
 ==Fehler 2. Art==
-Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
+Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
-Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
-==Beispiele==
+== Anwendungen ==
-===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===
+*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
-Es wird eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.
+*Risikoabschätzung in Versicherungen
+*Analyse von Produktionsprozessen
+*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:
+== Beispiele ==
-:<math>X \sim B(50; 0,02)</math>
-Wird in der Stichprobe <math>X=3</math> beobachtet, gilt:
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{x=0}^2 \binom{50}{k} 0,02^k (0,98)^{50-k} \approx 0,047</math>
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/GoFBcIUYvoY?si=l8gBziqVW2u_iCMr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></iframe></html>
-Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''. Die Nullhypothese wird verworfen.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
-===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
-Eine kleinere Stichprobe umfasst <math>n=20</math> Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>. Es wird mit einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.
-Es werden <math>X=2</math> fehlerhafte Teile gezählt. Dann gilt:
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264</math>
-Da diese Wahrscheinlichkeit größer als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''. Die Nullhypothese wird nicht verworfen.
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-===Anwendungen===
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
-* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
-* Risikoabschätzung in Versicherungen
+Berechnung:
-* Analyse von Produktionsprozessen
+:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>
-* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>
-[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
+=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:
+:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
+:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
+:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
+[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]