Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

==Null- und Gegenhypothese==

Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

==Definition==

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

* Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.

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Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].

* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.

* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.

==Fehler 1. Art==

Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

==Fehler 2. Art==

Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

==~~Beispiele~~==

== Anwendungen ==

~~===Beispiel 1: Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===~~

*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

~~Es wird eine Stichprobe~~ von ~~<math>n=50</math> Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau~~ von ~~<math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.~~

*Risikoabschätzung in Versicherungen

*Analyse von Produktionsprozessen

*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

~~Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:~~

== Beispiele ==

~~:<math>X \sim B(50, 0,02)</math>~~

~~Wird~~ in ~~der~~ Stichprobe <math>X=3</math> ~~beobachtet~~, ~~gilt:~~

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

:<math>~~P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{x~~=~~0}^2 \binom{50}{x}~~ 0,~~02^x~~ (~~0,98~~)~~^{50-x} \approx~~ 0,~~047~~</math>

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).

~~Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als~~ <math>\alpha=0,05</math> ~~ist~~, ~~liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''. Die Nullhypothese wird verworfen~~.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

~~===Beispiel 2~~: ~~Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===~~

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

~~Eine kleinere Stichprobe umfasst <math>n=20</math> Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>. Es wird mit einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.~~

~~Es werden~~ <math>~~X=2~~</math> ~~fehlerhafte Teile gezählt. Dann gilt:~~

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>P(X ~~\ge 2~~) = ~~1 - P(X~~ \~~le 1)~~ = ~~1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{~~20~~} +~~ \~~binom{20}{1}~~ 0,05^1 ~~(0,95)^{19} \right] \approx 0,264~~</math>

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

~~Da diese Wahrscheinlichkeit größer als~~ <math>\~~alpha=~~0,05</math> ~~ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''~~. Die ~~Nullhypothese wird nicht verworfen~~.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.

Berechnung:

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>

=~~==Anwendungen===~~

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>

* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Risikoabschätzung in Versicherungen

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

* ~~Analyse von Produktionsprozessen~~

* ~~Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen~~

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Berechnung des kritischen Wertes:

:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>

:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Berechnung des kritischen Wertes:

:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Berechnung des kritischen Wertes:

:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
+Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
 ==Null- und Gegenhypothese==
 Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:
-* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
+* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
-* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
+* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
 ==Definition==
-Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
+Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
 * Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.
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 Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].
+* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.
+* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
-* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
+* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
 * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
 ==Fehler 1. Art==
-Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
+Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
 ==Fehler 2. Art==
-Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
+Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
-Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
-==Beispiele==
+== Anwendungen ==
-===Beispiel 1: Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===
+*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
-Es wird eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.
+*Risikoabschätzung in Versicherungen
+*Analyse von Produktionsprozessen
+*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:
+== Beispiele ==
-:<math>X \sim B(50, 0,02)</math>
-Wird in der Stichprobe <math>X=3</math> beobachtet, gilt:
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{x=0}^2 \binom{50}{x} 0,02^x (0,98)^{50-x} \approx 0,047</math>
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
-Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''. Die Nullhypothese wird verworfen.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
-===Beispiel 2: Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Eine kleinere Stichprobe umfasst <math>n=20</math> Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>. Es wird mit einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.
-Es werden <math>X=2</math> fehlerhafte Teile gezählt. Dann gilt:
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264</math>
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Da diese Wahrscheinlichkeit größer als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''. Die Nullhypothese wird nicht verworfen.
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.
+Berechnung:
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>
-===Anwendungen===
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
-* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
-* Risikoabschätzung in Versicherungen
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
-* Analyse von Produktionsprozessen
-* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]