Bedingte Wahrscheinlichkeit: Unterschied zwischen den Versionen

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== Definition ==

Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt

Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>, dann gilt:

:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>

== Stochastische Unabhängigkeit ==

Zwei Ereignisse A und B heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn

Zwei Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn

:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>

gilt.

Dies bedeutet, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen gilt <math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.

Dies bedeutet, dass das Eintreten von <math>B</math> die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen gilt demnach (vorausgesetzt die Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0):

:<math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.

== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==

Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit:

Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit.

Hierbei stehen die Variablen <math>a, b, c, d</math> für die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Schnittmengen (z. B. <math>a = P(A \cap B)</math>):

{| class="wikitable"

| || <math>B</math> || <math>\bar{B}</math> || <math>\sum</math>

|-

| <math>A</math> || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>a+b</math>

|-

| <math>\bar{A}</math> || <math>c</math> || <math>d</math> || <math>c+d</math>

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|}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann durch

Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann direkt aus der Tafel ablesen und berechnen durch:

<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> ~~berechnen.~~

:<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math>

== Satz von Bayes ==

Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

Es seien <math>A</math> und <math>B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(\bar{A})</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>

berechnet.

berechnet. Oftmals ist <math>P(B)</math> nicht direkt gegeben und muss über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Pfadadditionsregel im Baumdiagramm) ermittelt werden. Die erweiterte Formel lautet dann:

:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P_A(B) \cdot P(A) + P_{\bar{A}}(B) \cdot P(\bar{A})}</math>

== Beispiele ==

Zeile 41:

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* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>

* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>

* Prävalenz <math>P(K) = 0,02</math>

* Prävalenz (Krankheitsrate) <math>P(K) = 0,02</math>

Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:

:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':

Alternative Berechnung direkt mit dem '''Satz von Bayes''':

~~Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>~~:

Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math> über die totale Wahrscheinlichkeit:

:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>

:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

Nun wenden wir den Satz von Bayes an:

:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>

Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – ~~aufgrund~~ der niedrigen Prävalenz.

'''Interpretation:''' Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – dies liegt an der niedrigen Prävalenz (seltene Krankheit) in Kombination mit der Fehlerquote des Tests.

=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===

Betrachtet man zwei Ereignisse ~~beim Würfeln~~:

Betrachtet man zwei Ereignisse bei einem fairen sechsseitigen Würfel:

* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = ~~0,5~~</math>

* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>

* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = ~~0,5~~</math>

* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>

Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} \~~approx 0,333~~</math>

Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}</math>

Da <math>P(A) \cdot P(B) = ~~0,25~~ \neq ~~0,333~~</math>, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Wir prüfen auf stochastische Unabhängigkeit:

:<math>P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}</math>

Da <math>\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}</math>, sind die Ereignisse '''nicht''' stochastisch unabhängig.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu:

<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{~~0,333~~}{~~0,5~~} \approx 0,~~666~~</math>

:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,7\%</math>

=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===

Zeile 75:

Zeile 81:

* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>

Da die Würfe unabhängig sind:

Da die Würfe voneinander unabhängig sind, gilt für die Schnittmenge:

:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25</math>

Die bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt entsprechend:

<math>P_B(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math> (~~wie erwartet~~ bei stochastischer Unabhängigkeit)

:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math>

(Dies ist das zu erwartende Resultat bei stochastischer Unabhängigkeit, da Vorwissen B das Eintreten von A nicht beeinflusst).

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 == Definition ==
 Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".
-Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt
+Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>, dann gilt:
 :<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>
 == Stochastische Unabhängigkeit ==
-Zwei Ereignisse A und B heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn
+Zwei Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn
 :<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
 gilt.
-Dies bedeutet, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen gilt <math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.
+Dies bedeutet, dass das Eintreten von <math>B</math> die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen gilt demnach (vorausgesetzt die Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0):
+:<math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.
 == Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==
-Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit:
+Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit.
+Hierbei stehen die Variablen <math>a, b, c, d</math> für die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Schnittmengen (z. B. <math>a = P(A \cap B)</math>):
 {| class="wikitable"
 |               || <math>B</math>       || <math>\bar{B}</math> || <math>\sum</math>
 |-
-| <math>A</math>         || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>a+b</math>
+| <math>A</math>       || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>a+b</math>
 |-
 | <math>\bar{A}</math> || <math>c</math> || <math>d</math> || <math>c+d</math>
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 |}
-Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann durch
+Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann direkt aus der Tafel ablesen und berechnen durch:
-<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.
+:<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math>
 == Satz von Bayes ==
-Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch
+Es seien <math>A</math> und <math>B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(\bar{A})</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch
 :<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>
-berechnet.
+berechnet. Oftmals ist <math>P(B)</math> nicht direkt gegeben und muss über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Pfadadditionsregel im Baumdiagramm) ermittelt werden. Die erweiterte Formel lautet dann:
+:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P_A(B) \cdot P(A) + P_{\bar{A}}(B) \cdot P(\bar{A})}</math>
 == Beispiele ==
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 * Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>
 * Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>
-* Prävalenz <math>P(K) = 0,02</math>
+* Prävalenz (Krankheitsrate) <math>P(K) = 0,02</math>
 Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
 :<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>
-Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':
+Alternative Berechnung direkt mit dem '''Satz von Bayes''':
-Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:
+Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math> über die totale Wahrscheinlichkeit:
 :<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>
 :<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>
 Nun wenden wir den Satz von Bayes an:
 :<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>
-Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – aufgrund der niedrigen Prävalenz.
+'''Interpretation:''' Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – dies liegt an der niedrigen Prävalenz (seltene Krankheit) in Kombination mit der Fehlerquote des Tests.
 === Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
-Betrachtet man zwei Ereignisse beim Würfeln:
+Betrachtet man zwei Ereignisse bei einem fairen sechsseitigen Würfel:
-* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = 0,5</math>
+* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>
-* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = 0,5</math>
+* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>
-Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} \approx 0,333</math>
+Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}</math>
-Da <math>P(A) \cdot P(B) = 0,25 \neq 0,333</math>, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
+Wir prüfen auf stochastische Unabhängigkeit:
+:<math>P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}</math>
+Da <math>\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}</math>, sind die Ereignisse '''nicht''' stochastisch unabhängig.
-Die bedingte Wahrscheinlichkeit:
+Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu:
-<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,333}{0,5} \approx 0,666</math>
+:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,7\%</math>
 === Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
@@ Zeile 75: / Zeile 81: @@
 * B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>
-Da die Würfe unabhängig sind:
+Da die Würfe voneinander unabhängig sind, gilt für die Schnittmenge:
-<math>P(A \cap B) = 0,25 = P(A) \cdot P(B)</math>
+:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25</math>
-Die bedingte Wahrscheinlichkeit:
+Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt entsprechend:
-<math>P_B(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math> (wie erwartet bei stochastischer Unabhängigkeit)
+:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math>
+(Dies ist das zu erwartende Resultat bei stochastischer Unabhängigkeit, da Vorwissen B das Eintreten von A nicht beeinflusst).
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]