Vierfeldertafel: Unterschied zwischen den Versionen

(4 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)

Zeile 1:

Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zur graphischen Darstellung von [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.

==Definition==

Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

Zeile 22:

Zeile 24:

===Medizinischer Test===

[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png|mini|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]

Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

Zeile 29:

Zeile 32:

| || '''Test positiv (T)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''

|-

| '''Krank (K)''' || <math>0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math> || <math>0,05 \cdot 0,02 = 0,001</math> || <math>0,02</math>

| '''Krank (K)''' || <math> 0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math> || <math> 0,02 \cdot 0,05 = 0,001</math> || <math>0,02</math>

|-

| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>0,10 \cdot 0,98 = 0,098</math> || <math>0,90 \cdot 0,98 = 0,882</math> || <math>0,98</math>

| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math> 0,98 \cdot 0,10 = 0,098</math> || <math> 0,98 \cdot 0,90 = 0,882</math> || <math>0,98</math>

|-

| '''Total''' || <math>0,117</math> || <math>0,883</math> || '''1'''

Zeile 37:

Zeile 40:

'''Berechnungen:'''

* Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:

* Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:

<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>

:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>

* Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:

<math> P(K|T) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>

Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:

:<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>

[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:

:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zur graphischen Darstellung von [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.
 ==Definition==
 Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].
@@ Zeile 22: / Zeile 24: @@
 ===Medizinischer Test===
+[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png|mini|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]
 Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.
@@ Zeile 29: / Zeile 32: @@
 |               || '''Test positiv (T)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''
 |-
-| '''Krank (K)''' || <math>0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math> || <math>0,05 \cdot 0,02 = 0,001</math> || <math>0,02</math>
+| '''Krank (K)''' || <math>  0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math> || <math> 0,02 \cdot 0,05 = 0,001</math> || <math>0,02</math>
 |-
-| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>0,10 \cdot 0,98 = 0,098</math> || <math>0,90 \cdot 0,98 = 0,882</math> || <math>0,98</math>
+| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>  0,98 \cdot 0,10 = 0,098</math> || <math>  0,98 \cdot 0,90 = 0,882</math> || <math>0,98</math>
 |-
 | '''Total'''     || <math>0,117</math>            || <math>0,883</math>                         || '''1'''
@@ Zeile 37: / Zeile 40: @@
 '''Berechnungen:'''
-* Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:
-  <math> P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019 </math>
+Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:
-* Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:
-  <math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>
+:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>
-* Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:
-  <math> P(K|T) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>
+Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:
+:<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>
+[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:
+:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]