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Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Lineare Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der [[Marktanalyse]].
Quadratische Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die quadratisch miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.  


==Betrag einer Zahl==
==Definition==
Der '''Betrag''' einer reellen Zahl a misst den Abstand zu 0 und wird mit <math>|a|</math> abgekürzt. Es gilt <math>
Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
    a=\left\{\begin{array}{ll} a, & a \geq 0 \\
 
        -a, & a<0\end{array}\right. .
Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
  </math>
 
Wir verwenden den Betrag bei der Definition einer quadratischen Funktion.
==Nullstellenform==
===Beispiel===
Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
Es gilt <math>\left|1\right|=1, \left|-2\right|=2, \left|0\right|=0, \left|-1\right|=1, \left|3\right|=3</math>.


==Definition==
==Scheitelpunktform==
Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr Graph heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn <math>|a|>1</math> und '''Stauchungsfaktor''', wenn <math>|a|<1</math>.
Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f\left(x\right)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
 
==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==
Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.


===Beispiele für quadratische Funktionen===
==Beispiele==
===Begriffe für eine quadratische Funktionsvorschrift verwenden===
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFkt.png|mini|Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math>]]
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFkt.png|mini|Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math>]]
Der Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_E=[0;5]</math> ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist <math>S(2,5|5)</math>. Die Normalparabel wurde um den Faktor <math>-0,8</math> gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.
Der Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_E=[0;5]</math> ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist <math>S(2,5|5)</math>. Die Normalparabel wurde um den Faktor <math>-0,8</math> gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.


[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNormal.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>]]
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNormal.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>]]
Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.
Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.


[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]]
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]]
Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.
Der letzte Graph hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/64UjI-hUQIU?si=2PmAymgjsY8d9YsQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/_1k7_zaN4q4?si=tNfzoDlVV4Q2tRmx" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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==Nullstellen==
===Nullstellenform mit positiver und negativer [[Nullstelle]]===
Die '''Nullstellen''' einer quadratischen Funktion <math>{f\left(x\right)=x}^2+px+q</math> werden durch Auflösen der Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> nach <math>x</math> ausgerechnet. Für eine Nachfragefunktion wird die positive Nullstelle auch '''Sättigungsmenge''' genannt. Die Lösung der Gleichung wird mit der '''p-q-Formel''' berechnet: <math>x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}</math>
<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> die Nullstellenform von <math>f</math>.


Es können keine, eine oder zwei Lösungen existieren.
===Nullstellenform mit positiven [[Nullstelle|Nullstellen]]===
<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> die Nullstellenform von <math>g</math>.


===Beispiel pq-Formel anwenden===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/u0oN0VTA9Uo?si=bBxM4O5loope1XEI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNST.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=2x^2+8x+4</math> mit Nullstellen]]
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+8x+4</math>. Wir rechnen


<math>{2x}^2+8x+4=0\ |\ \div2</math>
===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]
Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:


<math>x^2+4x+2=0\ </math>
<math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>
 
<math>f\left(x\right)=-2(x^2-4x+4)+1</math>


damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=4</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir einsetzen:
<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-8+1</math>
<math>x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2-\sqrt2\approx-3,41</math>
und
<math>x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2+\sqrt2\approx-0,59</math>


Also hat f die Nullstellen  <math>x_1\approx-3,41</math> und <math>x_2\approx-0,59</math>. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.
<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/62W7vkZOsgY?si=OQN3whbksaE9jebQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.


===Beispiel Nullstellen ohne pq-Formel berechnen===
===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===
Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden:
Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.


Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x:
====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielKeinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math> ohne Schnittpunkt]]
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen


<math>3\left(x-5\right)^2=27\ |\ \div3</math>
<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1~|~+1</math>


<math>\left(x-5\right)^2=9\ |\ \sqrt{~}</math>
<math>{2x}^2+4x+5=-2x~|~+2x</math>


<math>x-5=9\ \vee x-5=-9\ |+5</math>
<math>{2x}^2+6x+5=0~|~:2</math>


<math>x=14\ \vee x=-4</math>
<math>x^2+3x+2,5=0</math>


Produkt von Nullstellen:
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2,5. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:
<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,5}=-1,5\pm\sqrt{-0,25}</math>


<math>\left(x-8\right)\left(x+3\right)=0</math>
Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen.


<math>x-8=0\ \vee x-3=0</math>
====Parabel und Gerade haben genau einen Schnittpunkt====
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielEinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math> mit genau einem Schnittpunkt]]
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen


<math>x=8\ \vee x=3</math>
<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5~|~+0,5</math>


Direktes Auflösen nach x:
<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x~|~+2x</math>
<math>7x^2-343=0\ |\ \div7</math>


<math>x^2-49=0\ |+49</math>
<math>{2x}^2+6x+4,5=0~|~:2</math>


<math>x^2=49\ \ |\ \sqrt{~}</math>
<math>x^2+3x+2,25=0</math>  


<math>x=7\ \vee x=-7\</math>
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2,25</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:
<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,25}=-1,5\pm\sqrt0=-1,5</math>


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YP3qpsTryrc?si=d2H0Gbv2T4DTI0px" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Den y-Wert berechnen wir durch <math>g\left(-1,5\right)=-2\cdot\left(-1,5\right)-0,5=2,5</math>. Der Schnittpunkt ist damit <math>A(-1,5|2,5)</math>.


===Herleitung p-q-Formel (nur zur Vertiefung)===
====Parabel und Gerade haben zwei Schnittpunkte====
Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> zu bestimmen, rechnet man:
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielZweiSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math> mit zwei Schnittpunkten]]
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen


<math>ax^2+bx+c=0</math>
<math>{2x}^2+4x+4=-2x\ |+2x</math>


<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math>
<math>{2x}^2+6x+4=0~|~:2</math>


<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math>
<math>x^2+3x+2=0</math>


<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2)+c=0</math>
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:


<math>a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0</math>
<math>x_1=-\frac{3}{2}+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5+\sqrt{0,25}=-1</math>


<math>a\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}</math>
und
                                 
<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math>


Gilt <math>a=1</math>, so erhält man:
<math>x_2=-\frac{3}{2}-\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5-\sqrt{0,25}=-2</math>


<math>x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math>
Die y-Werte berechnen wir durch <math>g\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2</math> und <math>g\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)=4</math>. Die Schnittpunkte sind damit <math>A(-1|2)</math> und <math>B(-2|4)</math>.


==Nullstellenform==
====Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt====
Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die Nullstellen sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielParaOhneSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math> ohne Schnittpunkt]]
Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben.


===Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math>===
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math>. Gleichsetzen der Funktionen liefert
<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind Nullstellen von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> in Nullstellenform.


===Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>===
<math>h(x)=f(x)</math>
<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind Nullstellen von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> in Nullstellenform.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/u0oN0VTA9Uo?si=bBxM4O5loope1XEI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4~|~-2x^2</math>


==Scheitelpunktform==
<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4~|~-4x</math>
Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.


[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>]]
<math>{-5x}^2-6x+1=4~|~-4</math>
===Beispiel===
Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:


<math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>
<math>{-5x}^2-6x-3=0~|~:(-5)</math>


<math>f\left(x\right)=-2(x^2-4x+4)+1</math>
<math>x^2+1,2x+0,6=0</math>


<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-8+1</math>
Es gilt <math>p=1,2</math> und <math>q=0,6</math>.


<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>
Diese Werte können wir einsetzen:


Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
<math>x=-\frac{1,2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1,2}{2}\right)^2-0,6}=-0,6\pm\sqrt{-0,24}</math>


Der Wert unter der Wurzel ist negativ und damit existiert kein Schnittpunkt.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FAqb0Ld_4Do?si=NaHcBx5HFGIFgCcf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Schnittpunkte von Parabeln==
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
Abgerufen von „https://wiki.flbk-hamm.de/Quadratische_Funktion“