Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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~~Lineare~~ Funktionen sind ~~Funktionen~~ der ~~Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade~~. Anwendungen ~~finden quadratische Funktionen~~ in ~~der [[Marktanalyse]]~~.

Quadratische Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die quadratisch miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.

==~~Betrag einer Zahl~~==

==Definition==

~~Der~~ '''~~Betrag~~''' ~~einer reellen Zahl~~ a ~~misst~~ den ~~Abstand zu 0~~ und ~~wird mit~~ <math>|a|</math> ~~abgekürzt~~. ~~Es gilt~~ <math>

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

a~~=\left\{\begin{array}{ll} a, & a \geq~~ 0 \\

-a, & a<0~~\end{array}\right~~. .

Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.

</math>

~~Wir verwenden den Betrag bei~~ der ~~Definition einer quadratischen~~ Funktion.

==Nullstellenform==

==~~=Beispiel=~~==

Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.

==Scheitelpunktform==

Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

==~~Definition~~==

==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==

~~Eine~~ Funktion ~~der Form~~ <math>~~f\left(x\right)~~=~~ax^2+bx~~+c</math> ~~mit <math>a\neq0</math> heißt '''~~quadratische Funktion~~''' in '''Normalform''', ihr Graph heißt '''Parabel'''.~~ <math>a</math> ~~heißt '''Streckungsfaktor'''~~, ~~wenn~~ <math>~~|a|>1~~</math> und ~~'''Stauchungsfaktor'''~~, ~~wenn <math>|a|<1</math>.~~

Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

~~Für <math>a>~~0~~</math> ist~~ die ~~Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist~~ die ~~Parabel nach '''unten geöffnet'''~~. ~~Der tiefste bzw~~. ~~höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt'''~~ oder ~~'''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f\left(x\right)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''~~.

===~~Beispiele~~ für quadratische ~~Funktionen~~===

==Beispiele==

===Begriffe für eine quadratische Funktionsvorschrift verwenden===

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFkt.png|mini|Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math>]]

Der Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_E=[0;5]</math> ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist <math>S(2,5|5)</math>. Die Normalparabel wurde um den Faktor <math>-0,8</math> gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNormal.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>]]

Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.

Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]]

Der letzte Graph ~~ist~~ hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde ~~daher um 5 Einheiten~~ gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.

Der letzte Graph hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/64UjI-hUQIU?si=2PmAymgjsY8d9YsQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><~~/html>~~

==~~Nullstellenform~~==

~~Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)<~~/~~math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''~~. ~~Die Nullstellen sind <math>x_1<~~/~~math> und <math>x_2<~~/~~math>.~~

===~~Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=3</math> und <math>x_2~~=-~~4</math>===~~

~~<math>x_1=3</math> und <math>x_2=~~-~~4</math~~> ~~sind Nullstellen von <math>f~~</~~math~~> ~~mit <math>a=1~~</~~math~~>~~, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> in Nullstellenform.~~

===~~Beispiel~~ mit ~~Nullstellen <math>x_1=2</math>~~ und ~~<math>x_2=6</math>~~===

===Nullstellenform mit positiver und negativer [[Nullstelle]]===

<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind Nullstellen von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=~~(-3)~~\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> in Nullstellenform.

<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> die Nullstellenform von <math>f</math>.

===Nullstellenform mit positiven [[Nullstelle|Nullstellen]]===

<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> die Nullstellenform von <math>g</math>.

==~~Scheitelpunktform~~==

~~Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)~~=~~a({x~~-~~e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion~~ in ~~'''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math~~>~~S(e|f)~~</~~math>. Der Faktor <math~~>a</~~math~~> ~~ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.~~

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f~~\left~~(x~~\right~~)=-2({x-2)}^2+1</math>]]

===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===

~~===Beispiel===~~

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]

Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der ~~Funktion~~ weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

<math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>

Zeile 50:

Zeile 48:

<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>

Der ~~Graph~~ der ~~Funktion~~ ist ~~auf~~ der ~~rechten Seite aufgelistet~~. Der Schnittpunkt mit der y-~~Achse ist~~ <math>(0|-7)</math>.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.

===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.

====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielKeinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math> ohne Schnittpunkt]]

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2,5. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:

<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,5}=-1,5\pm\sqrt{-0,25}</math>

Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen.

====Parabel und Gerade haben genau einen Schnittpunkt====

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielEinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math> mit genau einem Schnittpunkt]]

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2,25</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:

<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,25}=-1,5\pm\sqrt0=-1,5</math>

Den y-Wert berechnen wir durch <math>g\left(-1,5\right)=-2\cdot\left(-1,5\right)-0,5=2,5</math>. Der Schnittpunkt ist damit <math>A(-1,5|2,5)</math>.

====Parabel und Gerade haben zwei Schnittpunkte====

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielZweiSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math> mit zwei Schnittpunkten]]

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:

<math>x_1=-\frac{3}{2}+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5+\sqrt{0,25}=-1</math>

und

<math>x_2=-\frac{3}{2}-\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5-\sqrt{0,25}=-2</math>

Die y-Werte berechnen wir durch <math>g\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2</math> und <math>g\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)=4</math>. Die Schnittpunkte sind damit <math>A(-1|2)</math> und <math>B(-2|4)</math>.

====Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt====

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielParaOhneSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math> ohne Schnittpunkt]]

Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben.

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math>. Gleichsetzen der Funktionen liefert

Es gilt <math>p=1,2</math> und <math>q=0,6</math>.

Diese Werte können wir einsetzen:

<math>x=-\frac{1,2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1,2}{2}\right)^2-0,6}=-0,6\pm\sqrt{-0,24}</math>

Der Wert unter der Wurzel ist negativ und damit existiert kein Schnittpunkt.

==~~Nullstellen~~==

~~==Schnittpunkte von Parabeln==~~

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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-Lineare Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der [[Marktanalyse]].
+Quadratische Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die quadratisch miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.
-==Betrag einer Zahl==
+==Definition==
-Der '''Betrag''' einer reellen Zahl a misst den Abstand zu 0 und wird mit <math>|a|</math> abgekürzt. Es gilt <math>
+Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
-     a=\left\{\begin{array}{ll} a, & a \geq 0 \\
-         -a, & a<0\end{array}\right. .
+Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
-  </math>
-Wir verwenden den Betrag bei der Definition einer quadratischen Funktion.
+==Nullstellenform==
-===Beispiel===
+Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
-Es gilt <math>\left|1\right|=1, \left|-2\right|=2, \left|0\right|=0, \left|-1\right|=1, \left|3\right|=3</math>.
+==Scheitelpunktform==
+Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
-==Definition==
+==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr Graph heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn <math>|a|>1</math> und '''Stauchungsfaktor''', wenn <math>|a|<1</math>.
+Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.
-Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f\left(x\right)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
-===Beispiele für quadratische Funktionen===
+==Beispiele==
+===Begriffe für eine quadratische Funktionsvorschrift verwenden===
 [[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFkt.png|mini|Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math>]]
 Der Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_E=[0;5]</math> ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist <math>S(2,5|5)</math>. Die Normalparabel wurde um den Faktor <math>-0,8</math> gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.
 [[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNormal.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>]]
-Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.
+Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>.
 [[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]]
-Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.
+Der letzte Graph hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/64UjI-hUQIU?si=2PmAymgjsY8d9YsQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/64UjI-hUQIU?si=2PmAymgjsY8d9YsQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/_1k7_zaN4q4?si=tNfzoDlVV4Q2tRmx" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Nullstellenform==
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die Nullstellen sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
-===Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math>===
-<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind Nullstellen von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> in Nullstellenform.
-===Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>===
+===Nullstellenform mit positiver und negativer [[Nullstelle]]===
-	<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind Nullstellen von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> in Nullstellenform.
+<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> die Nullstellenform von <math>f</math>.
+===Nullstellenform mit positiven [[Nullstelle|Nullstellen]]===
+	<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind [[Nullstelle|Nullstellen]] von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> die Nullstellenform von <math>g</math>.
-==Scheitelpunktform==
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/u0oN0VTA9Uo?si=bBxM4O5loope1XEI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
-[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>]]
+===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===
-===Beispiel===
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]
-Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:
+Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:
 <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>
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 <math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>
-Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
+Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
+===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===
+Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.
+====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielKeinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math> ohne Schnittpunkt]]
+Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1~|~+1</math>
+<math>{2x}^2+4x+5=-2x~|~+2x</math>
+<math>{2x}^2+6x+5=0~|~:2</math>
+<math>x^2+3x+2,5=0</math>
+damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2,5. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:
+<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,5}=-1,5\pm\sqrt{-0,25}</math>
+Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen.
+====Parabel und Gerade haben genau einen Schnittpunkt====
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielEinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math> mit genau einem Schnittpunkt]]
+Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5~|~+0,5</math>
+<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x~|~+2x</math>
+<math>{2x}^2+6x+4,5=0~|~:2</math>
+<math>x^2+3x+2,25=0</math>
+damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2,25</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:
+<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,25}=-1,5\pm\sqrt0=-1,5</math>
+Den y-Wert berechnen wir durch <math>g\left(-1,5\right)=-2\cdot\left(-1,5\right)-0,5=2,5</math>. Der Schnittpunkt ist damit <math>A(-1,5|2,5)</math>.
+====Parabel und Gerade haben zwei Schnittpunkte====
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielZweiSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math> mit zwei Schnittpunkten]]
+Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+6x+4=0~|~:2</math>
+<math>x^2+3x+2=0</math>
+damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:
+<math>x_1=-\frac{3}{2}+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5+\sqrt{0,25}=-1</math>
+und
+<math>x_2=-\frac{3}{2}-\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5-\sqrt{0,25}=-2</math>
+Die y-Werte berechnen wir durch <math>g\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2</math> und <math>g\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)=4</math>. Die Schnittpunkte sind damit <math>A(-1|2)</math> und <math>B(-2|4)</math>.
+====Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt====
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielParaOhneSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math> ohne Schnittpunkt]]
+Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben.
+Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math>. Gleichsetzen der Funktionen liefert
+<math>h(x)=f(x)</math>
+<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4~|~-2x^2</math>
+<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4~|~-4x</math>
+<math>{-5x}^2-6x+1=4~|~-4</math>
+<math>{-5x}^2-6x-3=0~|~:(-5)</math>
+<math>x^2+1,2x+0,6=0</math>
+Es gilt <math>p=1,2</math> und <math>q=0,6</math>.
+Diese Werte können wir einsetzen:
+<math>x=-\frac{1,2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1,2}{2}\right)^2-0,6}=-0,6\pm\sqrt{-0,24}</math>
+Der Wert unter der Wurzel ist negativ und damit existiert kein Schnittpunkt.
-==Nullstellen==
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FAqb0Ld_4Do?si=NaHcBx5HFGIFgCcf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Schnittpunkte von Parabeln==
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]