Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

==Ableitung==

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<math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis \(a\) und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>

Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>.

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==Erweiterte Form==

Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.

Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.

==Nullstellen==

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 ==Definition==
-Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
+Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
 ==Ableitung==
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 <math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>.
-Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis \(a\) und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>
+Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>
 Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>.
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 ==Erweiterte Form==
-Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.
+Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.
 ==Nullstellen==