Rentenrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei der Rentenrechnung | Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit jährlich [[Zinssatz|verzinst]]. | ||
==Rente== | ==Rente== | ||
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==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte== | ==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte== | ||
Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r</math> zu Jahresanfang gezahlt werden. | Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresanfang gezahlt werden. | ||
Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist | Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist | ||
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==Definition== | ==Definition== | ||
Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, Zinssatz, Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert. | Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, [[Zinssatz]], Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert. | ||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr | Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr 0 keine [[Zins|Zinsen]], sondern nur für die darauffolgenden 5 Jahre. Die letzte Rate wird gar nicht verzinst, weil diese am Ende der Laufzeit eingezahlt wird. | ||
===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen=== | ===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen=== | ||
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|} | |} | ||
Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen | Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen: | ||
<math>R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59</math> | <math>R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59</math> | ||
Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr | Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr 0 ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall | ||
<math>R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19</math> | <math>R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19</math> | ||
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===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen=== | ===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen=== | ||
Den | Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen: | ||
<math>R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62</math> | <math>R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62</math> | ||
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===Rate berechnen=== | ===Rate berechnen=== | ||
Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und q=1,06 berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um: | Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und <math>q=1,06</math> berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um: | ||
<math>R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |:\frac{q^n-1}{q-1}</math> | <math>R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |:\frac{q^n-1}{q-1}</math> | ||
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<math>r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000</math> | <math>r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000</math> | ||
Alternativ können die gegebenen Werte direkt in die Formel eingesetzt werden. Anschließend wird nach <math>r</math> umgeformt. | |||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YmY2KMdITLk?si=DwLOwT7ycmN7E_Ae" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YmY2KMdITLk?si=DwLOwT7ycmN7E_Ae" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | ||
===Laufzeit berechnen=== | ===Laufzeit berechnen=== | ||
Um die Laufzeit <math>n</math> zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die [[Taschenrechner_verwenden#Finanzmathematik|Tabellenfunktion des Taschenrechners]] und geben die Formel ein. | |||
Um die Laufzeit n zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein. | |||
In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n | In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n(6)\approx 34.876,59</math> beträgt. | ||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/-4AXmeSYQ9w?si=zRidzXr5PgoOiKgi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/-4AXmeSYQ9w?si=zRidzXr5PgoOiKgi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | ||
==Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel== | ==Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel== | ||
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[[Kategorie:Finanzmathematik]] | [[Kategorie:Finanzmathematik]] | ||
[[Kategorie: | [[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]] | ||