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Wahrscheinlichkeitsverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine '''Wahrscheinlichkeitsverteilung''' für ein [[Zufallsexperiment]] ordnet jedem möglichen Ergebnis bzw. jedem Wert einer [[Zufallsvariable]] eine [[Wahrscheinlichkeit]] zu. Sie beschreibt, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit von <math>1</math> (entsprechend <math>100\,\%</math>) auf die verschiedenen Ausgänge verteilt, und wird häufig tabellarisch oder durch ein [[Histogramm]] bzw. ein [[Säulendiagramm]] visualisiert.
==Definition==
==Definition==
Es sei <math>S=\{e_1;...;e_n\}</math> die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und <math>A</math> ein Ereignis. Die Zahlen <math>P\left(e_i\right)</math> mit
Es sei <math>\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}</math> die endliche [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines Zufallsexperiments mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>A \subseteq \Omega</math> ein [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignis]]. Die reellen Zahlen <math>P(e_i) \in [0; 1]</math> genügen den folgenden Bedingungen (in Anlehnung an die Kolmogorov-Axiome):


1. <math>0 \leq P(e_i) \leq 1</math> für alle <math>i \in \mathbb{N}</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>
#'''Nichtnegativität und Beschränktheit:''' <math>0 \leq P(e_i) \leq 1</math> für alle <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>
#'''Normierung:''' Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnismenge beträgt genau <math>1</math>:
#:<math>P(\Omega) = \sum_{i=1}^n P(e_i) = P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_n) = 1</math>
#'''Additivität für Ereignisse:''' Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses <math>A = \{e_1, e_2, \dots, e_m\}</math> mit <math>m \leq n</math> ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in <math>A</math> enthaltenen Elementarereignisse:
#:<math>P(A) = \sum_{e \in A} P(e) = P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_m)</math>


2. <math>P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\ldots+P\left(e_n\right)\mathrm{\ =1}</math>
Die Zahl <math>P(e_i)</math> nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math>. Die [[Funktion]] <math>P: \Omega \to [0; 1]</math> bzw. die Zuordnung auf der Ereignismenge <math>P: \mathcal{P}(\Omega) \to [0; 1]</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.


3. <math>P(A)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_m)</math> mit <math>e_1,e_2,...,e_m \in A</math>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/oLQNzQdOtsg?si=LcXSE3NZ91ikQIRr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math> für <math>i,n\ \in\mathbb{N}</math> mit <math>1\ \leq i\ \leq n</math>. Die Zuordnung
==Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten==
<math>e_i\mapsto P\left(e_i\right)</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.
Es sei <math>X</math> eine diskrete [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k \in \mathbb{N}_0</math>. Zur präzisen mathematischen Beschreibung gelten folgende Konventionen:


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/oLQNzQdOtsg?si=LcXSE3NZ91ikQIRr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
*<math>P(X = k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau den Wert <math>k</math> annimmt (Einzelwahrscheinlichkeit).
*<math>P(X \leq k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert von höchstens <math>k</math> annimmt (kumulierte Wahrscheinlichkeit).
*<math>P(X < k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner als <math>k</math> (also echt kleiner) annimmt.
*<math>P(X \geq k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert von mindestens <math>k</math> annimmt.
*<math>P(X > k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer als <math>k</math> (also mehr als <math>k</math>) annimmt.


==Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten==
Für ganzzahlige Zufallsvariablen (wie bei der Binomialverteilung) und zur Berechnung mit dem [[Taschenrechner verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] gelten folgende Umformungsregeln über das Gegenereignis bzw. Nachbarwerte:
Es sei <math>X</math> eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k \in \mathbb{N}</math>. Es gelten die folgenden Konventionen:
* <math>P(X=k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert <math>k</math> annimmt.
* <math>P(X\leq k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich <math>k</math> annimmt.
* <math>P(X < k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner <math>k</math> annimmt.
* <math>P(X\geq k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich <math>k</math> annimmt.
* <math>P(X > k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer <math>k</math> annimmt.


Außerdem gilt
*<math>P(X < k) = P(X \leq k - 1)</math>
* <math>P(X\le k)=1-P(X>k)</math>
*<math>P(X > k) = 1 - P(X \leq k)</math>
* <math>P(X\geq k)=1-P(X<k)</math>
*<math>P(X \leq k) = 1 - P(X > k)</math>
* <math> P(X\geq k)=1-P(X\le k)+P(X=k)</math>
*<math>P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X \leq k - 1)</math>
*<math>P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k) + P(X = k)</math>
*<math>P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) - P(X \leq k_1 - 1)</math> für <math>k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0</math> mit <math>k_1 \leq k_2</math>


==Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen==
==Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen==
Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und <math>A,~ B</math> seien [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisse]]. Dann gilt:
Für ein [[Zufallsexperiment]] mit der Ergebnismenge <math>\Omega</math> seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei beliebige [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisse]] (<math>A, B \subseteq \Omega</math>).
 
===Additionssatz (Vereinigung von Ereignissen)===
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt (<math>A \cup B</math>), berechnet sich nach dem allgemeinen Additionssatz:
 
<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>


<math>P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)</math>
Sind <math>A</math> und <math>B</math> unvereinbar (disjunkt, d. h. <math>A \cap B = \emptyset</math> und <math>P(A \cap B) = 0</math>), so gilt der spezielle Additionssatz:


und
<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B)</math>


<math>P(A \cup B)=P(A)\ +P(B)-P(A\cap B)</math>
===Multiplikationssatz (Schnittmenge von Ereignissen)===
Für die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten (<math>A \cap B</math>), muss differenziert werden:
 
*'''Allgemeiner Fall (abhängige Ereignisse):''' Unter Verwendung der [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]] <math>P(B \mid A)</math> bzw. <math>P_A(B)</math> gilt:
:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)</math>
*'''Spezialfall (stochastisch unabhängige Ereignisse):''' Die Produktformel gilt '''nur dann''', wenn <math>A</math> und <math>B</math> stochastisch unabhängig voneinander sind:
:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>


==Beispiele==
==Beispiele==


===Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf===
===Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf===
Beim Münzwurf gilt beispielsweise <math>Kopf\mapsto\frac{1}{2}</math> und <math>Zahl\mapsto\frac{1}{2}</math>. Die [[Zuordnung]] wird oft als Tabelle dargestellt:
Beim Wurf einer fairen Münze lautet die Ergebnismenge <math>\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}</math>. Beiden Ausgängen wird dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet: <math>\text{Kopf} \mapsto \frac{1}{2}</math> und <math>\text{Zahl} \mapsto \frac{1}{2}</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt sich tabellarisch wie folgt dar:


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Zeile 44: Zeile 61:
! Ergebnis <math>e_i</math> !! Wahrscheinlichkeit <math>P(e_i)</math>
! Ergebnis <math>e_i</math> !! Wahrscheinlichkeit <math>P(e_i)</math>
|-
|-
| Kopf || <math>\frac{1}{2}</math>
| Kopf || <math>\frac{1}{2} = 0{,}5</math>
|-
|-
| Zahl || <math>\frac{1}{2}</math>
| Zahl || <math>\frac{1}{2} = 0{,}5</math>
|-
| '''Summe''' || <math>1{,}0</math>
|}
|}


===Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels===
===Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels===
Die [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet <math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch <math>P(X=k)=\frac{1}{6}</math> mit <math>k \in \{1;...;6\}</math> gegeben.
Die Ergebnismenge beim Wurf eines fairen sechsseitigen Würfels ist <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>. Die diskrete [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gebe die gewürfelte Augenzahl an (z. B. steht <math>X = 3</math> für das Auftreten der Augenzahl 3). Da ein [[Laplace-Experiment]] mit sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen vorliegt, lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
 
<math>P(X = k) = \frac{1}{6}</math> für alle <math>k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>
 
In tabellarischer Form (Wahrscheinlichkeitstabelle):
 
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! Wert <math>k</math> !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! Summe
|-
| <math>P(X = k)</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>1</math>
|}


[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Fachabitur]]
[[Kategorie:FHR WuV Mathe]]
[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]
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