Wahrscheinlichkeitsverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

==Definition==

Es sei <math>\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}</math> die endliche [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines Zufallsexperiments mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>A \subseteq \Omega</math> ein [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignis]]. Die reellen Zahlen <math>P(e_i) \in [0; 1]</math> genügen den folgenden Bedingungen (in Anlehnung an die Kolmogorov-Axiome):

#:<math>P(\Omega) = \sum_{i=1}^n P(e_i) = P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_n) = 1</math>

#'''Additivität für Ereignisse:''' Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses <math>A = \{e_1, e_2, \dots, e_m\}</math> mit <math>m \leq n</math> ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in <math>A</math> enthaltenen Elementarereignisse:

#:<math>P(A) = \sum_{e \in A} P(e) = P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_m)</math>

Die Zahl <math>P(e_i)</math> nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math>. Die [[Funktion]] <math>P: \Omega \to [0; 1]</math> bzw. die Zuordnung auf der Ereignismenge <math>P: \mathcal{P}(\Omega) \to [0; 1]</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.

 

Es sei <math>X</math> eine diskrete [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k \in \mathbb{N}_0</math>. Zur präzisen mathematischen Beschreibung gelten folgende Konventionen:

 

*<math>P(X = k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau den Wert <math>k</math> annimmt (Einzelwahrscheinlichkeit).

*<math>P(X \leq k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert von höchstens <math>k</math> annimmt (kumulierte Wahrscheinlichkeit).

*<math>P(X < k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner als <math>k</math> (also echt kleiner) annimmt.

*<math>P(X \geq k)</math> bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert von mindestens <math>k</math> annimmt.

 

 

*<math>P(X < k) = P(X \leq k - 1)</math>

*<math>P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k) + P(X = k)</math>

*<math>P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) - P(X \leq k_1 - 1)</math> für <math>k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0</math> mit <math>k_1 \leq k_2</math>

 

==Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen==

Für ein [[Zufallsexperiment]] mit der Ergebnismenge <math>\Omega</math> seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei beliebige [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisse]] (<math>A, B \subseteq \Omega</math>).

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt (<math>A \cup B</math>), berechnet sich nach dem allgemeinen Additionssatz:

<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>

 

 

 

 

 

Beim Wurf einer fairen Münze lautet die Ergebnismenge <math>\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}</math>. Beiden Ausgängen wird dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet: <math>\text{Kopf} \mapsto \frac{1}{2}</math> und <math>\text{Zahl} \mapsto \frac{1}{2}</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt sich tabellarisch wie folgt dar:

| Kopf || <math>\frac{1}{2} = 0{,}5</math>

| Zahl || <math>\frac{1}{2} = 0{,}5</math>

| '''Summe''' || <math>1{,}0</math>

Die Ergebnismenge beim Wurf eines fairen sechsseitigen Würfels ist <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>. Die diskrete [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gebe die gewürfelte Augenzahl an (z. B. steht <math>X = 3</math> für das Auftreten der Augenzahl 3). Da ein [[Laplace-Experiment]] mit sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen vorliegt, lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

 

<math>P(X = k) = \frac{1}{6}</math> für alle <math>k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>

 

 

{| class="wikitable" style="text-align:center;"

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| <math>P(X = k)</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>1</math>

[[Kategorie:FHR WuV Mathe]]

[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]