Signifikanztest

Ein Signifikanztest ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine Zufallsvariable auf Grundlage einer Stichprobe beibehalten oder verworfen werden sollte.

Null- und Gegenhypothese

Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:

• Die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math]: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
• Die Gegenhypothese oder Alternativhypothese [math]\displaystyle{ H_1 }[/math]: Sie stellt die Alternative zu [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht zutrifft.

Definition

Ein Signifikanztest überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] verworfen wird.

• Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen, spricht man von einem signifikanten Ergebnis.
• Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen, reichen die vorliegenden Daten nicht aus, um [math]\displaystyle{ H_1 }[/math] zu stützen.

Einseitiger Signifikanztest

Beim einseitigen Signifikanztest wird nur eine Abweichung in eine Richtung untersucht. Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer Binomialverteilung.

• Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem rechtsseitigen Signifikanztest.
• Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem linksseitigen Signifikanztest.
• Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen wird, heißt Annahmebereich.
• Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen wird, heißt Verwerfungsbereich.
• Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird kritische Zahl genannt.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] genannt.

Fehler 1. Art

Ein Fehler 1. Art ([math]\displaystyle{ \alpha-Fehler }[/math]) tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

Fehler 2. Art

Ein Fehler 2. Art ([math]\displaystyle{ \beta-Fehler }[/math]) tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit [math]\displaystyle{ \beta }[/math] bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

Anwendungen

• Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
• Risikoabschätzung in Versicherungen
• Analyse von Produktionsprozessen
• Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

Beispiele

Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=20 }[/math] Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

• Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,05 }[/math] (Fehlerquote beträgt 5 %).
• Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p > 0,05 }[/math] (Fehlerquote ist größer als 5 %).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

1. Erwartungswert und Annahmebereich:

Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1 }[/math].

Der Annahmebereich umfasst alle Werte [math]\displaystyle{ k }[/math], für die [math]\displaystyle{ P(X \ge k) > 0,05 }[/math] gilt. Die kleinste Zahl [math]\displaystyle{ k }[/math] mit [math]\displaystyle{ P(X > k) \le 0,05 }[/math] ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich. Berechnung:

[math]\displaystyle{ P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05 }[/math]

→ Kritische Zahl: [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math]

• Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{0;1;2;3\} }[/math]
• Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{4;5;\dots;20\} }[/math]

2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 2 }[/math], d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

3. Entscheidung: Es gilt [math]\displaystyle{ P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05 }[/math], d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha=0,05 }[/math]. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=50 }[/math] Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

• Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,02 }[/math] (Fehlerquote beträgt 2 %).
• Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p > 0,02 }[/math] (Fehlerquote ist größer als 2 %).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden.

1. Erwartungswert und Annahmebereich:

Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1 }[/math]

Berechnung der kritischen Zahl: Der Annahmebereich umfasst alle Werte [math]\displaystyle{ k }[/math], für die [math]\displaystyle{ P(X \ge k) > 0,05 }[/math] gilt. Die kleinste Zahl [math]\displaystyle{ k }[/math] mit [math]\displaystyle{ P(X > k) \le 0,05 }[/math] ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

[math]\displaystyle{ P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05 }[/math]

→ Kritische Zahl: [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math]

• Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{0;1;2;3\} }[/math]
• Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{4;5;\dots;50\} }[/math]

2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 3 }[/math], d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

3. Entscheidung: Es gilt [math]\displaystyle{ P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05 }[/math]. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha=0,05 }[/math]. [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)

Eine Münze wird [math]\displaystyle{ n=40 }[/math]-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

• Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,5 }[/math] (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
• Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p < 0,5 }[/math] (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden.

1. Erwartungswert und Annahmebereich:

Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist:

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20 }[/math]

Berechnung der kritischen Zahl: Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl [math]\displaystyle{ k }[/math], für die [math]\displaystyle{ P(X \le k) \le 0,05 }[/math] gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs. Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

[math]\displaystyle{ P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05 }[/math]

→ Kritische Zahl: [math]\displaystyle{ k = 15 }[/math]

• Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{0;1;\dots;14\} }[/math]
• Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{15;16;\dots;40\} }[/math]

2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 14 }[/math], d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

3. Entscheidung: Es gilt [math]\displaystyle{ P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05 }[/math]. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt [math]\displaystyle{ n=30 }[/math]. Die binomialverteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

• Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,1 }[/math] (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
• Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p < 0,1 }[/math] (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden.

1. Erwartungswert und Annahmebereich:

Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3 }[/math]

Berechnung der kritischen Zahl: Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl [math]\displaystyle{ k }[/math], für die [math]\displaystyle{ P(X \le k) \le 0,05 }[/math] gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs. Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

[math]\displaystyle{ P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05 }[/math]

→ Kritische Zahl: [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]

• Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math]
• Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{1;2;\dots;30\} }[/math]

2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 2 }[/math], d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.

3. Entscheidung: Es gilt [math]\displaystyle{ P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05 }[/math]. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.