Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

(44 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)

Zeile 5:

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

==Definition==

Zeile 21:

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.

==Fehler 1. Art==

Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

==Fehler 2. Art==

Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

== Anwendungen ==

*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

*Risikoabschätzung in Versicherungen

*Analyse von Produktionsprozessen

*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

== Beispiele ==

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen ===

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. ~~Unter~~ der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt ~~die Fehlerquote~~ <math>~~p_0 =~~ 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine ~~fehlerhafter~~ produziert ~~(''einseitiger Test nach oben'')~~.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

~~Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.~~

~~'''~~2~~. Beobachtung~~:~~'''~~

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

Berechnung:

:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>

~~In der Stichprobe werden~~ <math>X = 2</math> ~~fehlerhafte Teile gefunden.~~

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

'''3. ~~Wahrscheinlichkeit berechnen~~:'''

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

~~Die~~ Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ~~lautet:~~

'''3. Entscheidung:'''

:<math>~~P(X~~ \ge 2~~) = 1 - P(X \le 1)~~</math>

Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

~~Berechne~~ <math>P(~~X \le 1~~)</math>:

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

~~Für 0 defekte Teile:~~ <math>~~P(X=0)~~ = ~~\binom{20}{0} \cdot~~ 0,05~~^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358~~</math>

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

~~Für 1 defektes Teil~~: <math>P(X=1) = ~~\binom{20}{1}~~ \cdot 0,~~05^~~1 ~~\cdot 0,95^{19} \approx 0,377~~</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

~~Damit~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,~~358 +~~ 0,~~377~~) = 0,~~265~~</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>

:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>

~~'''~~4~~. Entscheidung:'''~~

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>

Da <math>~~0,265 > 0,05~~</math>, ~~liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''~~.

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

Die ~~Nullhypothese~~ wird ''nicht verworfen''.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

~~Zwei fehlerhafte Teile sind also unter~~ <math>H_0</math> ~~nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis~~ auf ~~eine höhere Fehlerquote~~.

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

~~=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen ===~~

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

~~Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>.~~ Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden~~, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert~~.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:

:<math>\operatorname{E}(X) = ~~n \cdot p_0 = 50~~ \cdot 0,02 = 1</math>.

:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

~~Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.~~

~~'''2~~. ~~Beobachtung~~:~~'''~~

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>

~~In der Stichprobe werden~~ <math>X = 3</math> ~~fehlerhafte Teile gefunden.~~

→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

'''3. ~~Wahrscheinlichkeit berechnen~~:'''

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

~~Die Wahrscheinlichkeit, mindestens~~ 3 ~~fehlerhafte Teile zu finden, lautet~~:

'''3. Entscheidung:'''

:<math>P(X \~~ge 3~~) ~~= 1 - P(X~~ \le 2)</math>

Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

~~Berechne~~ <math>P(X ~~\le 2)~~</math>:

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

:<math>~~P(X \le 2) = \sum_{x~~=~~0}^{2} \binom{50}{x} \cdot~~ 0,~~02^x \cdot~~ 0,~~98^{50-x} \approx 0,953~~</math>

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

~~Dann:~~

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

:<math>~~P(X~~ \~~ge 3)~~ = ~~1 -~~ 0,~~953 = 0,047~~</math>

'''4. ~~Entscheidung~~:'''

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Da <math>~~0,047 < 0,05~~</math>~~, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.~~

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

~~Die Nullhypothese wird ''verworfen''~~: ~~Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als~~ <math>0,02</math> ~~ist.~~

~~=== Anwendungen ===~~

~~Qualitätskontrollen in~~ der ~~industriellen Fertigung~~

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>

~~Risikoabschätzung in Versicherungen~~

→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

~~Analyse von Produktionsprozessen~~

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.

~~Überprüfung~~ von ~~Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen~~

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 * Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
-* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
+* Die '''Gegenhypothese''' oder '''Alternativhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
 ==Definition==
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
-* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
+* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
 * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
 ==Fehler 1. Art==
-Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
+Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
 ==Fehler 2. Art==
-Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
+Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
-Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
+== Anwendungen ==
+*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
+*Risikoabschätzung in Versicherungen
+*Analyse von Produktionsprozessen
+*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
 == Beispiele ==
-=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen ===
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (''einseitiger Test nach oben'').
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/GoFBcIUYvoY?si=l8gBziqVW2u_iCMr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></iframe></html>
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
 Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
 :<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
-'''2. Beobachtung:'''
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
+Berechnung:
+:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>
-In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
-'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.
-Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+'''3. Entscheidung:'''
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
+Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
-Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
-Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
-Damit:
+Berechnung der kritischen Zahl:
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>
-'''4. Entscheidung:'''
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>
-Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.
-Die Nullhypothese wird ''nicht verworfen''.
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
-Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
+=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
-=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen ===
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
-Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:
-:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
+:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
-Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
-'''2. Beobachtung:'''
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
+:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>
-In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
-'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.
-Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+'''3. Entscheidung:'''
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
+Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
-Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
-:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
-Dann:
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
-'''4. Entscheidung:'''
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
-Die Nullhypothese wird ''verworfen'': Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
-=== Anwendungen ===
-Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
+:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>
-Risikoabschätzung in Versicherungen
+→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
-Analyse von Produktionsprozessen
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.
-Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
+'''3. Entscheidung:'''
+Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]