Ableitungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Ist eine [[Funktion]] <math>f</math> für alle <math>x\ \in\ \mathbb{D}_f</math> differenzierbar, so heißt die [[Funktion]] <math>f'</math>, die jeder [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x</math> der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsmenge]] die Ableitung <math>f'(x)</math> zuordnet, '''Ableitungsfunktion'''. Wir bezeichnen <math>f'</math> auch als Ableitung von <math>f</math>.

===Ableitungsregeln===

==Ableitungsregeln==

Die Ableitungsfunktion <math>f'</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

====Potenzregel====

===Potenzregel===

Die Funktion <math>f\left(x\right)=x^n</math> hat die Ableitungsfunktion <math>f'\left(x\right)=n{\cdot x}^{n-1}</math> für <math>n\ \in\mathbb{N}</math>.

====Faktorregel====

===Faktorregel===

Für <math>f\left(x\right)=c\cdot g(x)</math> gilt <math>f'\left(x\right)=c\cdot g'(x)</math>.

====Summenregel====

===Summenregel===

Für <math>f\left(x\right)=g\left(x\right)+h(x)</math> gilt <math>f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'(x)</math>.

===Beispiele===

==Beispiele==

====Graphische Erläuterung der Steigung in einem Punkt====

===Graphische Erläuterung der Steigung in einem Punkt===

[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]

Im Bild wandert ein Punkt mit seiner Tangente über den [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math>. Die Steigung der Tangente ist die Steigung in dem Punkt. Wandert der Punkt den 'Berg' hinauf, ist die Steigung positiv. Wandert der Punkt den 'Berg' hinab, ist die Steigung negativ. Auf dem 'Berg' und im 'Tal' ist die Steigung Null. In der Mitte zwischen 'Berg' und 'Tal' ist die Steigung [[Betragsfunktion|betragsmäßig]] am größten.

====Steigung in einem Punkt mit Hilfe der Tangente ermitteln====

===Steigung in einem Punkt mit Hilfe der Tangente ermitteln===

Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^2</math> im Punkt <math>P(1|1)</math>. Die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] in diesem Punkt ist <math>t\left(x\right)=2x-1</math>. Die Steigung von <math>f</math> in <math>P</math> ist <math>2</math>.

====~~Potenz-, Faktor- und Summenregel anwenden~~====

===Regeln anwenden anwenden===

~~Wendet man auf~~ <math>f~~\left~~(x~~\right~~)=x^6</math> ~~die Potenzregel an,~~ gilt <math>f'~~\left~~(x~~\right~~)=6x^{6-1}=6x^5</math>. Die Steigung im Punkt <math>P(1|2)</math> ist dann <math>f'(1)=6 \cdot 1^5=6</math>.

====Potenzregel====

* Für <math>f(x)=x^6</math> gilt <math>f'(x)=6x^{6-1}=6x^5</math>. Die Steigung im Punkt <math>P(1|2)</math> ist dann <math>f'(1)=6 \cdot 1^5=6</math>.

* Für <math>f(x)=x</math> gilt <math>f'(x)=1</math>.

* Für <math>f(x)=-5</math> gilt <math>f'(x)=0</math>.

* Für <math>f(x)=x^{-3}</math> gilt <math>g'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}</math>.

====Faktorregel====

* Für <math>g(x)=3x^5</math> gilt <math>g'(x)=3\cdot5x^{5-1}=15x^4</math>.

* Für <math>f(x)=5x</math> gilt <math>f'(x)=5</math>.

* Für <math>g(x)=-3x^{-2}</math> gilt <math>g'(x)=-3\cdot(-2)\cdot x^{-2-1}=6x^{-3}</math>.

====Summenregel====

*Für <math>h(x)=2x^3+3x^4</math> gilt <math>h'(x)=2\cdot3x^2+4\cdot3x^3 =6x^2+12x^3</math>.

*Für <math>h(x)=2x-5</math> gilt <math>h'(x)=2</math>.

===Höhere Ableitungen ermitteln===

Höhere Ableitungen werden durch mehrmaliges Anwenden der Ableitungsregeln angewendet. Die Ableitungsfunktion von <math>f'(x)</math> ist dann <math>f''(x)</math> und die Ableitungsfunktion von <math>f''(x)</math> ist <math>f'''(x)</math>. <math>f''(x)</math> bzw. <math>f'''(x)</math> bezeichnen wir mit '''zweite''' bzw. '''dritte Ableitung'''.

~~Wendet man auf~~ <math>~~g\left~~(x~~\right~~)=3x^5</math> die ~~Faktorregel an, gilt~~ <math>~~g'\left(x\right)~~=~~3\cdot5x^{5-1}=15x^~~4</math>.

===Punkt zur Steigung ermitteln===

Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=2x^2</math> und ermitteln den Punkt, in dem der Graph von <math>f</math> die Steigung <math>m=4</math> hat:

~~Wendet man auf~~ <math>~~h\left~~(x~~\right~~)=~~2x^3+3x^~~4</math> ~~die Summenregel an, gilt~~ <math>h'(x)=2\~~cdot3x~~^2~~+4\cdot3x^3~~=~~6x^~~2~~+12x^3~~</math>~~. Das dritte Video zeigt, wie Ableitungsfunktionen skizziert werden können~~.

# Es gilt <math>f'(x)=4x</math>.

# <math>4=4x</math> <br> <math>1=x</math>

# <math>f(1)=2\cdot 1^2=2</math> <br> Der Graph von <math>f</math> hat im Punkt <math>P(1|2)</math> die Steigung <math>m=4</math>.

===Lernvideos zur Ableitung===

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~~====Höhere Ableitungen ermitteln====~~

Höhere Ableitungen werden durch mehrmaliges Anwenden der Ableitungsregeln angewendet. Die Ableitungsfunktion von <math>f'(x)</math> ist dann <math>f''(x)</math> und die Ableitungsfunktion von <math>f''(x)</math> ist <math>f'''(x)</math>. <math>f''(x)</math> bzw. <math>f'''(x)</math> bezeichnen wir mit '''zweite''' bzw. '''dritte Ableitung'''.

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

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 Ist eine [[Funktion]] <math>f</math> für alle <math>x\ \in\ \mathbb{D}_f</math> differenzierbar, so heißt die [[Funktion]] <math>f'</math>, die jeder [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x</math> der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsmenge]] die Ableitung <math>f'(x)</math> zuordnet, '''Ableitungsfunktion'''. Wir bezeichnen <math>f'</math> auch als Ableitung von <math>f</math>.
-===Ableitungsregeln===
+==Ableitungsregeln==
 Die Ableitungsfunktion <math>f'</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
-====Potenzregel====
+===Potenzregel===
 Die Funktion <math>f\left(x\right)=x^n</math> hat die Ableitungsfunktion <math>f'\left(x\right)=n{\cdot x}^{n-1}</math> für <math>n\ \in\mathbb{N}</math>.
-====Faktorregel====
+===Faktorregel===
 Für <math>f\left(x\right)=c\cdot g(x)</math> gilt <math>f'\left(x\right)=c\cdot g'(x)</math>.
-====Summenregel====
+===Summenregel===
 Für <math>f\left(x\right)=g\left(x\right)+h(x)</math> gilt <math>f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'(x)</math>.
-===Beispiele===
+==Beispiele==
-====Graphische Erläuterung der Steigung in einem Punkt====
+===Graphische Erläuterung der Steigung in einem Punkt===
 [[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]
 Im Bild wandert ein Punkt mit seiner Tangente über den [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math>. Die Steigung der Tangente ist die Steigung in dem Punkt. Wandert der Punkt den 'Berg' hinauf, ist die Steigung positiv. Wandert der Punkt den 'Berg' hinab, ist die Steigung negativ. Auf dem 'Berg' und im 'Tal' ist die Steigung Null. In der Mitte zwischen 'Berg' und 'Tal' ist die Steigung [[Betragsfunktion|betragsmäßig]] am größten.
-====Steigung in einem Punkt mit Hilfe der Tangente ermitteln====
+===Steigung in einem Punkt mit Hilfe der Tangente ermitteln===
 Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^2</math> im Punkt <math>P(1|1)</math>. Die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] in diesem Punkt ist <math>t\left(x\right)=2x-1</math>. Die Steigung von <math>f</math> in <math>P</math> ist <math>2</math>.
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-====Potenz-, Faktor- und Summenregel anwenden====
+===Regeln anwenden anwenden===
-Wendet man auf <math>f\left(x\right)=x^6</math> die Potenzregel an, gilt <math>f'\left(x\right)=6x^{6-1}=6x^5</math>. Die Steigung im Punkt <math>P(1|2)</math> ist dann <math>f'(1)=6 \cdot 1^5=6</math>.
+====Potenzregel====
+* Für <math>f(x)=x^6</math> gilt <math>f'(x)=6x^{6-1}=6x^5</math>. Die Steigung im Punkt <math>P(1|2)</math> ist dann <math>f'(1)=6 \cdot 1^5=6</math>.
+* Für <math>f(x)=x</math> gilt <math>f'(x)=1</math>.
+* Für <math>f(x)=-5</math> gilt <math>f'(x)=0</math>.
+* Für <math>f(x)=x^{-3}</math> gilt <math>g'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}</math>.
+====Faktorregel====
+* Für <math>g(x)=3x^5</math> gilt <math>g'(x)=3\cdot5x^{5-1}=15x^4</math>.
+* Für <math>f(x)=5x</math> gilt <math>f'(x)=5</math>.
+* Für <math>g(x)=-3x^{-2}</math> gilt <math>g'(x)=-3\cdot(-2)\cdot x^{-2-1}=6x^{-3}</math>.
+====Summenregel====
+*Für <math>h(x)=2x^3+3x^4</math> gilt <math>h'(x)=2\cdot3x^2+4\cdot3x^3 =6x^2+12x^3</math>.
+*Für <math>h(x)=2x-5</math> gilt <math>h'(x)=2</math>.
+===Höhere Ableitungen ermitteln===
+Höhere Ableitungen werden durch mehrmaliges Anwenden der Ableitungsregeln angewendet. Die Ableitungsfunktion von <math>f'(x)</math> ist dann <math>f''(x)</math> und die Ableitungsfunktion von <math>f''(x)</math> ist <math>f'''(x)</math>. <math>f''(x)</math> bzw. <math>f'''(x)</math> bezeichnen wir mit '''zweite''' bzw. '''dritte Ableitung'''.
-Wendet man auf <math>g\left(x\right)=3x^5</math> die Faktorregel an, gilt <math>g'\left(x\right)=3\cdot5x^{5-1}=15x^4</math>.
+===Punkt zur Steigung ermitteln===
+Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=2x^2</math> und ermitteln den Punkt, in dem der Graph von <math>f</math> die Steigung <math>m=4</math> hat:
-Wendet man auf <math>h\left(x\right)=2x^3+3x^4</math> die Summenregel an, gilt <math>h'(x)=2\cdot3x^2+4\cdot3x^3=6x^2+12x^3</math>. Das dritte Video zeigt, wie Ableitungsfunktionen skizziert werden können.
+# Es gilt <math>f'(x)=4x</math>.
+# <math>4=4x</math> <br> <math>1=x</math>
+# <math>f(1)=2\cdot 1^2=2</math> <br> Der Graph von <math>f</math> hat im Punkt <math>P(1|2)</math> die Steigung <math>m=4</math>.
+===Lernvideos zur Ableitung===
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-====Höhere Ableitungen ermitteln====
-Höhere Ableitungen werden durch mehrmaliges Anwenden der Ableitungsregeln angewendet. Die Ableitungsfunktion von <math>f'(x)</math> ist dann <math>f''(x)</math> und die Ableitungsfunktion von <math>f''(x)</math> ist <math>f'''(x)</math>. <math>f''(x)</math> bzw. <math>f'''(x)</math> bezeichnen wir mit '''zweite''' bzw. '''dritte Ableitung'''.
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
 [[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
 [[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]