Bedingte Wahrscheinlichkeit: Unterschied zwischen den Versionen

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Zeile 29:

<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.

== Satz von Bayes ==

Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>

berechnet.

== Beispiele ==

Zeile 39:

Zeile 45:

Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:

:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':

Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:

:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>

:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

Nun wenden wir den Satz von Bayes an:

:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>

Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – aufgrund der niedrigen Prävalenz.

=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===

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 <math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.
+== Satz von Bayes ==
+Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch
+:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>
+berechnet.
 == Beispiele ==
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 Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
 :<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>
+Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':
+Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:
+:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>
+:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>
+Nun wenden wir den Satz von Bayes an:
+:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>
+Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – aufgrund der niedrigen Prävalenz.
 === Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===