Lineare Funktion

Lineare Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die linear miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.

Definition

Eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit der Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math] heißt lineare Funktion mit der Steigung [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{R} }[/math] und dem [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achsenabschnitt [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{R} }[/math]. Die Gleichung der Geraden ist [math]\displaystyle{ y=mx+b }[/math]. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Ein Punkt [math]\displaystyle{ P(c|d) }[/math] liegt genau dann auf dem Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math], wenn [math]\displaystyle{ d=m \cdot c+b }[/math] gilt.

Punkt-Steigungsform der Geradengleichung

Sind zwei Punkte [math]\displaystyle{ P_1(x_1| y_1) }[/math] und [math]\displaystyle{ P_2(x_2| y_2) }[/math] gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls [math]\displaystyle{ x_1 \neq x_2 }[/math], ist dies der Graph einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann [math]\displaystyle{ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} }[/math]. Die Gleichung der Geraden kann in der Punkt-Steigungs-Form angegeben werden:

[math]\displaystyle{ y=m(x-x_1) +y_1 }[/math]

Wenn [math]\displaystyle{ m=0 }[/math] ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.

Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen

Sind zwei lineare Funktionsvorschriften [math]\displaystyle{ y\ =m_1x+b_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ y\ =m_2x+b_2 }[/math] gegeben, dann kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen und Umformen nach [math]\displaystyle{ x }[/math] errechnet werden:

[math]\displaystyle{ m_2x+b_2=\ m_1x+b_1\ |-\ b_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ m_2x=\ m_1x+b_1-b_2\ |-m_1x }[/math]

[math]\displaystyle{ m_2x-m_1x=\ b_1-b_2\ |\ x\ \text{ausklammern} }[/math]

[math]\displaystyle{ {x(m}_2-m_1)=\ b_1-b_2\ |\ \div\ {(m}_2-m_1) }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\ \frac{b_1-b_2}{m_2-m_1} }[/math]

Der dazugehörige [math]\displaystyle{ y }[/math]-Wert wird durch Einsetzen in eine der Funktionsvorschriften, z. B. [math]\displaystyle{ y\ =m_2x+b_2 }[/math], berechnet: [math]\displaystyle{ y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2 }[/math]

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Parallele Geraden

Parallele Gerade mit [math]\displaystyle{ f(x)=2 x+3 }[/math] und [math]\displaystyle{ g(x)=2 x+1 }[/math]

Die Geraden von zwei linearen Funktionen [math]\displaystyle{ g(x)=m_1x+b_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ f(x)=m_2x+b_2 }[/math] sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Für parallele Geraden gilt [math]\displaystyle{ m_1=m_2 }[/math], d. h. die Steigungen sind gleich.

Orthogonale Geraden

Orthogonale Geraden mit [math]\displaystyle{ f(x)=2 x+3 }[/math] und [math]\displaystyle{ g(x)=-\frac{1}{2} x+3 }[/math]

Die Geraden von zwei linearen Funktionen [math]\displaystyle{ g(x)=m_1x+b_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ f(x)=m_2x+b_2 }[/math] sind orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Für orthogonale Geraden gilt [math]\displaystyle{ m_1 \cdot m_2=-1 }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ m_1 =-\frac{1}{m_2} }[/math].

Beispiele

Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math] mit Steigung und y-Achsenabschenitt

Gegeben ist die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math]. Der [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achsenabschnitt ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math], da die Gerade im Punkt [math]\displaystyle{ (0|2) }[/math] die [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achse schneidet. Die Steigung ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math], da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist [math]\displaystyle{ y=2x+2 }[/math].

x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen

Gegeben ist die lineare Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=-2x+1 }[/math]. Für [math]\displaystyle{ x=-2 }[/math] berechnen wir den Funktionswert durch [math]\displaystyle{ f(-2)=-2 \cdot (-2) +1 =5 }[/math]. Für den Funktionswert [math]\displaystyle{ f(x)=-1 }[/math] berechnen wir den [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert durch

[math]\displaystyle{ f(x)=-2x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -1=-2x+1 ~|~ -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -2=-2x~|~:(-2) }[/math]

[math]\displaystyle{ 1=x }[/math].

Punktprobe durchführen

Wir betrachten wieder die lineare Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math]. Der Punkt [math]\displaystyle{ P(2|3) }[/math] liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt [math]\displaystyle{ 3\neq2\cdot2+2=6 }[/math]. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt Punktprobe.

Punktsteigungsform ermitteln

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=1,5x+0 }[/math]

Gegeben sind die Punkte [math]\displaystyle{ P_1(2|3) }[/math] und [math]\displaystyle{ P_2(4|6) }[/math] dann ist [math]\displaystyle{ m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5 }[/math]. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist: [math]\displaystyle{ y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x }[/math]

y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen

Alternativ können wir b berechnen, indem wir [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] in die Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1,5x+b }[/math] einsetzen: [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1,5x+b }[/math]

[math]\displaystyle{ 3=1,5\cdot 2+b }[/math]

[math]\displaystyle{ 3=3+b\ |\ -3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 0=b }[/math]

Also ist die Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1,5x }[/math].

Schnittpunkt ermitteln

Schnittpunkt [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x+3 }[/math] von [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=2x-1 }[/math] und [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x+3 }[/math]

Gegeben sind die Funktionen [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=2x-1 }[/math] und [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x+3 }[/math].

Gleichsetzen liefert

[math]\displaystyle{ 2x-1=-2x+3\ |+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2x=-2x+4\ |+2x }[/math]

[math]\displaystyle{ 4x=\ 4\ |\div4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\ 1 }[/math]

und Einsetzen von [math]\displaystyle{ x }[/math] ergibt

[math]\displaystyle{ f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1 }[/math]

Also ist der Schnittpunkt [math]\displaystyle{ S\left(1|1\right) }[/math]