Kettenregel: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Kettenregel ist wie die [[Produktregel]] eine Regel zum [[Ableitung|Ableiten]] von [[Funktion|Funktionen]].

==Definition==

Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung#Definition|differenzierbare]] [[Funktion|Funktionen]], so ist auch

~~: <math>f(x) = u(v(x))</math> differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt~~

: <math>f(x) = u(v(x))</math> für alle <math>x \in \mathbb{D}</math>

differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt

: <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x).</math>

==Beweis der Kettenregel==

Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(v(x))</math> ab.

Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung|Differenzenquotienten]] ausdrücken:

: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>

Da <math> f(x) = u(v(x)) </math>, setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:

: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} </math>

Nun erweitern wir durch <math> v(x_0 + h) - v(x_0) </math>, um die Kettenregel herleiten zu können:

: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) </math>

Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von <math>u</math> an der Stelle <math>v(x_0)</math>, der zweite der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>.

Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:

* Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>.

* Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist.

Damit erhalten wir die Kettenregel:

: <math> f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) </math>

==Beispiele==

===Kettenregel anwenden===

Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^3</math> und <math>v(x) = x^2 + 1</math>.

Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(v(x)) = (x^2 + 1)^3</math>.

Nach der Kettenregel gilt:

<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.

==~~Beispiele~~==

Berechnen wir die Ableitungen:

<math>u'(v(x)) = 3(v(x))^2 = 3(x^2 + 1)^2</math> und <math>v'(x) = 2x</math>.

Einsetzen ergibt:

<math>f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2</math>.

===Ketten- und Produktregel anwenden===

Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = (x^3 + 2x)^4</math> und <math>v(x) = e^x</math>.

Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(x) \cdot v(x) = (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x</math>.

Nach der Produktregel gilt:

<math>f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)</math>.

Zunächst wenden wir die Kettenregel auf <math>u(x)</math> an:

Nach der Kettenregel:

<math>u'(x) = 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)</math>.

Für <math>v(x)</math> gilt:

<math>v'(x) = e^x</math>.

Einsetzen in die Produktregel ergibt:

<math>f'(x) = [4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)] \cdot e^x + (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x</math>.

Faktorisiertes Ergebnis:

<math>f'(x) = e^x \cdot \left[ 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) + (x^3 + 2x)^4 \right]</math>.

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

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+Die Kettenregel ist wie die [[Produktregel]] eine Regel zum [[Ableitung|Ableiten]] von [[Funktion|Funktionen]].
 ==Definition==
 Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung#Definition|differenzierbare]] [[Funktion|Funktionen]], so ist auch
-: <math>f(x) = u(v(x))</math> differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt
+: <math>f(x) = u(v(x))</math> für alle <math>x \in \mathbb{D}</math>
+differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt
+: <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x).</math>
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FX0AiRQO0Zo?si=mu1O6tokTNwE_-FE" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
+==Beweis der Kettenregel==
+Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(v(x))</math> ab.
+Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung|Differenzenquotienten]] ausdrücken:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>
+Da <math> f(x) = u(v(x)) </math>, setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} </math>
+Nun erweitern wir durch <math> v(x_0 + h) - v(x_0) </math>, um die Kettenregel herleiten zu können:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) </math>
+Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von <math>u</math> an der Stelle <math>v(x_0)</math>, der zweite der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>.
+Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:
+* Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>.
+* Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist.
+Damit erhalten wir die Kettenregel:
+: <math> f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) </math>
+==Beispiele==
+===Kettenregel anwenden===
+Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^3</math> und <math>v(x) = x^2 + 1</math>.
+Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(v(x)) = (x^2 + 1)^3</math>.
+Nach der Kettenregel gilt:
 <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.
-==Beispiele==
+Berechnen wir die Ableitungen:
+<math>u'(v(x)) = 3(v(x))^2 = 3(x^2 + 1)^2</math> und <math>v'(x) = 2x</math>.
+Einsetzen ergibt:
+<math>f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2</math>.
+===Ketten- und Produktregel anwenden===
+Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = (x^3 + 2x)^4</math> und <math>v(x) = e^x</math>.
+Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(x) \cdot v(x) = (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x</math>.
+Nach der Produktregel gilt:
+<math>f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)</math>.
+Zunächst wenden wir die Kettenregel auf <math>u(x)</math> an:
+<math>u(x) = (x^3 + 2x)^4</math>
+Nach der Kettenregel:
+<math>u'(x) = 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)</math>.
+Für <math>v(x)</math> gilt:
+<math>v'(x) = e^x</math>.
+Einsetzen in die Produktregel ergibt:
+<math>f'(x) = [4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)] \cdot e^x + (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x</math>.
+Faktorisiertes Ergebnis:
+<math>f'(x) = e^x \cdot \left[ 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) + (x^3 + 2x)^4 \right]</math>.
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 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
 [[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]