Quelltext der Seite Stetige Funktion

In der Mathematik ist ein stetige Funktion eine [[Funktion]], bei der hinreichend kleine Änderungen des [[Funktion#Definition|x-Wertes]] nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswertes nach sich ziehen können. Anschaulich bedeutet es, dass der [[Graph]] einer stetigen Funktion als eine durchgängige Linie, ohne Sprünge, gezeichnet werden kann.

==Definition==
Es sei <math>f\colon \mathbb{D}_f \to \R</math> eine [[Funktion]]. 

'''Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium:''' 

<math>f</math> heißt '''stetig in <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math>''', wenn zu jedem <math>\varepsilon>0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert, so dass für alle <math>x \in \mathbb{D}_f</math> mit
:<math>|x - x_0| < \delta</math>
gilt:
:<math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon </math>.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung <math>\varepsilon</math> des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung <math>\delta</math> im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

'''Definition mittels Grenzwerten:''' 

<math>f</math> heißt '''stetig in <math>x_0</math>''', wenn der Grenzwert <math>\lim_{x\to x_0} f(x)</math> existiert und mit dem Funktionswert <math>f(x_0)</math> übereinstimmt, wenn also gilt:
:<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>.<br />

Ist diese Bedingung für ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> nicht erfüllt, so nennt man <math>f</math> '''unstetig''' in <math>x_0</math>.

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

==Beispiele==
===Unstetige Funktion===
[[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png|mini|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}
  x,   & \text{wenn }x\le 1\\
  x+1, & \text{wenn }x > 1
\end{cases}</math>]]
Die Funktion
:<math>f(x)=\begin{cases}
  x,   & \text{wenn }x\le 1\\
  x+1, & \text{wenn }x > 1
\end{cases}</math>

springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> in <math>x_0=1</math> unstetig ist.

====Kontraposition====
Wenn die Funktion stetig an <math>x_0 = 1</math> wäre, müsste es für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> geben, sodass <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> für alle <math>x</math> mit <math>|x - 1| < \delta</math> gilt.

Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>|f(x) - f(1)| = |1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>.

Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>.

====Fallunterscheidung====
'''Fall 1: <math>x \leq 1</math>'''

Für <math>x \leq 1</math> ist <math>f(x) = x</math>. Wir haben:

<math>
|f(x) - f(1)| = |x - 1|
</math>

Da <math>|x - 1| < \delta</math>, können wir <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> machen, indem wir <math>\delta = \epsilon</math> wählen. In diesem Fall ist die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt.

'''Fall 2: <math>x > 1</math>'''

Für <math>x > 1</math> ist <math>f(x) = x + 1</math>. Wir haben:

<math>
|f(x) - f(1)| = |(x + 1) - 1| = |x|
</math>

Nun setzen wir <math>x = 1 + h</math> für <math>h > 0</math> ein:

<math>
|f(x) - f(1)| = |(1 + h) + 1 - 1| = |1 + h| = 1 + h
</math>

Da <math>h > 0</math> ist, ist <math>|f(x) - f(1)| = 1 + h</math>. Wir können also zeigen, dass für jedes <math>\delta</math> die Differenz <math>|f(x) - f(1)| \geq 1</math> sein kann.

====Grenzwertbetrachtung====
'''Grenzwert von links (<math>x \to 1^−</math>)'''

Für <math>x \leq 1</math> ist <math>f(x) = x</math>. Der Grenzwert von links ist:

<math>
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1
</math>

'''Grenzwert von rechts (<math>x \to 1^+</math>)'''
Für <math>x > 1</math> ist <math>f(x) = x + 1</math>. Der Grenzwert von rechts ist:

<math>
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2
</math>

'''Vergleich der Grenzwerte'''

Für Stetigkeit muss gelten:

<math>
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)
</math>

Aber in unserem Fall haben wir:

<math>
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2
</math>

Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.

===Stetige Funktion===
[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png|mini|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]
Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:

<math>
f(x_0) = x_0
</math>

Für <math>f(x) = x</math> gilt:

<math>
|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0|
</math>

Da wir wollen, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:

<math>
|x - x_0| < \delta \implies |x - x_0| < \epsilon
</math>

Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>|x - x_0| < \delta</math> garantiert, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> erfüllt ist.

Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]