Gozintograph
Ein Gozintograph (von engl. *goes into* = „geht hinein“) ist ein gerichteter Graph, der die Zerlegung eines Endprodukts in seine Einzelteile oder Komponenten beschreibt. Jede Kante stellt dabei eine „Gozinto“-Beziehung dar: Sie zeigt von einer Komponente (Teil) auf das Produkt, in das sie eingeht. Der Gozintograph ist ein zentrales Hilfsmittel in der Produktionsplanung und Stücklistenverwaltung.
Definition
Ein Gozintograph ist ein gerichteter, azyklischer Graph \( G = (V, E) \), wobei:
- \( V \) die Menge der Knoten darstellt (Produkte oder Teile),
- \( E \subseteq V \times V \) die gerichteten Kanten darstellt, welche „geht-in“-Beziehungen symbolisieren.
Eine Kante \( (v_i, v_j, a_{ij}) \) mit der Beschriftung \( a_{ij} \) zeigt an, dass zur Herstellung eines Teils \( v_j \) genau \( a_{ij} \) Einheiten von Teil \( v_i \) benötigt werden.
Zusammenhang zu Matrizen
Die Informationen eines Gozintographen lassen sich in einer sogenannten Gozintomatrix darstellen. Diese ist eine Matrix \( A = (a_{ij}) \), bei der das Element \( a_{ij} \) die Anzahl der Einheiten von Komponente \( i \) angibt, die für die Herstellung von Produkt \( j \) benötigt wird. In der Produktionsplanung kann die benötigte Gesamtmenge aller Einzelteile über die Gleichung
\[ \mathbf{x} = (I - A)^{-1} \mathbf{y} \]
bestimmt werden, wobei \( \mathbf{y} \) den Vektor der Endprodukte und \( \mathbf{x} \) den Vektor der benötigten Teilemengen beschreibt.
Beispiele
Produktion eines Produkts aus Einzelteilen
Im folgenden Beispiel werden fünf Bauteile \( B_1, B_2, B_3, B_4, B_5 \) aus vier Einzelteilen \( E_1, E_2, E_3, E_4 \) gefertigt. Die Pfeile zeigen, welche Einzelteile in welches Bauteil eingehen. Die Zahlen an den Pfeilen geben die Stückzahl an.
Die Gozintomatrix zum oberen Gozintographen kann dann aus der Tabelle
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| E1 | 2 | 2 | 1 | 1 | |
| E2 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| E3 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| E3 | 0 | 0 | 0 | 2 |
abgeleitet werden und ist dann durch
- [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]
gegeben. Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass 2 Einzelteile von E1, 1 Einzelteil von E2 sowie 0 Einzelteile von E3 und E4 für die Herstellung eines Bauteils B1 benötigt werden.
Produktion von Spielwaren mit Zwischenprodukten
Produktionsprozess eines Spielwarenherstellers
Ein Spielwarenhersteller stellt in einem zweistufigen Produktionsprozess aus drei Rohstoffen R1, R2, R3 drei Endprodukte E1, E2, E3 her. Dabei werden zunächst Zwischenprodukte Z1, Z2 hergestellt, welche dann weiter zur Herstellung der Endprodukte verarbeitet werden.
Materialbedarfsmatrix
Die Materialbedarfsmatrix RZ (Rohstoffe zu Zwischenprodukten) ist gegeben durch:
RZ = \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Die Materialbedarfsmatrix ZE (Zwischenprodukte zu Endprodukten) ist gegeben durch:
ZE = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\)
Gesamtmaterialbedarf
Der Gesamtmaterialbedarf RE (Rohstoffe zu Endprodukten) ergibt sich aus der Matrixmultiplikation:
RE = RZ × ZE = \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 6 \\ 9 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\)
Interpretation: Die Matrix RE zeigt den Gesamtbedarf an Rohstoffen für die Herstellung einer Tonne jedes Endprodukts. Beispielsweise werden für eine Tonne E1 insgesamt 8 Tonnen R1, 9 Tonnen R2 und 2 Tonnen R3 benötigt.