Matrix

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.

Definition

Eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Platzhaltern mit \(m \in \mathbb{N}\) Zeilen und \(n \in \mathbb{N}\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. \(a_{ij} \in \mathbb{R}\) ist das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

\(m \times n\) ist das Format einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt quadratische Matrix. Die Elemente \(a_{11},...,a{mn}\) bilden die Hauptdiagonale der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben, heißt Einheitsmatrix. Eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht, heißt Spaltenvektor. Eine Matrix die nur aus einer Zeile besteht, heißt Zeilenvektor.

Transponierte Matrix

Es sei

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

eine \(m \times n\)-Matrix. Die transponierte Matrix \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Es gilt

[math]\displaystyle{ A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Addition

Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt

[math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Subtraktion

Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt

[math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Skalarmultiplikation

Es seien A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt

[math]\displaystyle{ \lambda \cdot A = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \dots & \lambda \cdot a_{1n} \\ \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \dots & \lambda \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \cdot a_{m1} & \lambda \cdot a_{m2} & \dots & \lambda \cdot a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Skalarprodukt

Gegeben seien ein Zeilenvektor [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}^n }[/math] und Spaltenvektor [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{R}^n }[/math], dann ist das Skalarprodukt durch

[math]\displaystyle{ a\cdot b=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 +... + a_n \cdot b_n }[/math]

definiert.

Multiplikation

Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.

Beispiele

Aufstellen einer Transportmatrix und einer Kostenmatrix

Ein Unternehmen betreibt drei Steinbrüche und zwei Betonwerke. In den Betonwerken wird der Kies aus den Steinbrüchen zu Beton verarbeitet. Für den Monat Februar sind diese Transporte in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. Beispielsweise werden 150 t Kies im Februar von Steinbruch 2 nach Betonwerk 1 transportiert.

	B1	B2
S1	100	200
S2	150	300
S3	90	110

Daraus ergibt sich die Transportmatrix

[math]\displaystyle{ T = \begin{pmatrix} 100 & 200 \\ 150 & 300 \\ 90 & 100 \\ \end{pmatrix} }[/math]

Beispiel 2: Addition und Subtraktion

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

Addition: [math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} }[/math]

Subtraktion: [math]\displaystyle{ A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

Beispiel 3: Skalarmultiplikation

[math]\displaystyle{ 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} }[/math]

Beispiel 4: Matrixmultiplikation

[math]\displaystyle{ C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix} }[/math]