Matrix

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.

Definition

Eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Platzhaltern mit \(m \in \mathbb{N}\) Zeilen und \(n \in \mathbb{N}\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. \(a_{ij} \in \mathbb{R}\) ist das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

\(m \times n\) ist das Format einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt quadratische Matrix. Die Elemente \(a_{11},...,a{mn}\) bilden die Hauptdiagonale der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben, heißt Einheitsmatrix. Eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht, heißt Spaltenvektor. Eine Matrix die nur aus einer Zeile besteht, heißt Zeilenvektor.

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix \(I\) ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale eins und überall sonst null sind.

[math]\displaystyle{ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} }[/math]

Spaltenvektor

Es seien \(n \in \mathbb{N}\) und \(v_i \in \mathbb{R}\) für \(i=1,...,n\), dann ist der Spaltenvektor \(v\) Spaltenvektor eine Matrix mit nur einer Spalte. Es gilt

[math]\displaystyle{ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} }[/math]

Transponierte Matrix

Es sei

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

eine \(m \times n\)-Matrix. Die transponierte Matrix \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Es gilt

[math]\displaystyle{ A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Addition

Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt

[math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Subtraktion

Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt

[math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Skalarmultiplikation

Es seien A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt

[math]\displaystyle{ \lambda \cdot A = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \dots & \lambda \cdot a_{1n} \\ \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \dots & \lambda \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \cdot a_{m1} & \lambda \cdot a_{m2} & \dots & \lambda \cdot a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren derselben Länge lautet: [math]\displaystyle{ u \cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i }[/math]

Multiplikation

Die Matrixmultiplikation ist möglich, wenn die Spaltenzahl von \(A\) gleich der Zeilenzahl von \(B\) ist. [math]\displaystyle{ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} }[/math]

Beispiele

Beispiel 1: Aufstellen einer Herstellungsmatrix

Produkt	Rohstoff A	Rohstoff B
Z1	2	3
Z2	1	4

Daraus ergibt sich die \(RZ\)-Matrix:

[math]\displaystyle{ RZ = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} }[/math]

Beispiel 2: Addition und Subtraktion

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

Addition: [math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} }[/math]

Subtraktion: [math]\displaystyle{ A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

Beispiel 3: Skalarmultiplikation

[math]\displaystyle{ 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} }[/math]

Beispiel 4: Matrixmultiplikation

[math]\displaystyle{ C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix} }[/math]