Matrix
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.
Definition
Eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. Das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) wird mit \(a_{ij}\) bezeichnet.
[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
Transportmatrix
Eine Transportmatrix wird in Transport- und Logistikprozessen verwendet. Das Element \(a_{ij}\) gibt an, wie viel Menge von Standort \(i\) zu Standort \(j\) transportiert wird.
Beispiel: [math]\displaystyle{ a_{12} = \text{Menge, die von Standort 1 nach Standort 2 transportiert wird} }[/math]
Kostenmatrix
Eine Kostenmatrix beschreibt Transportkosten zwischen Standorten. Das Element \(a_{ij}\) steht für die Kosten, die entstehen, wenn eine Einheit Ware von Standort \(i\) zu Standort \(j\) transportiert wird.
Herstellungsmatrix
Herstellungsmatrizen beschreiben Input-Output-Beziehungen in Produktionsprozessen.
- \(RZ\)-Matrix: zeigt, wie viele Rohstoffe \(R\) benötigt werden, um Zwischenprodukte \(Z\) herzustellen.
- \(ZE\)-Matrix: zeigt, wie viele Zwischenprodukte \(Z\) benötigt werden, um Endprodukte \(E\) herzustellen.
Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix \(I\) ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst.
[math]\displaystyle{ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} }[/math]
Spaltenvektor
Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit einer Spalte: [math]\displaystyle{ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} }[/math]
Transponierte Matrix
Die transponierte Matrix \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht.
[math]\displaystyle{ A^T_{ij} = A_{ji} }[/math]
Addition
Zwei Matrizen dürfen nur addiert werden, wenn sie dieselben Dimensionen haben. [math]\displaystyle{ (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} }[/math]
Subtraktion
Analog zur Addition: [math]\displaystyle{ (A - B)_{ij} = A_{ij} - B_{ij} }[/math]
Skalarmultiplikation
Jedes Matrixelement wird mit einem Skalar \(\lambda\) multipliziert. [math]\displaystyle{ (\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot A_{ij} }[/math]
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren derselben Länge lautet: [math]\displaystyle{ u \cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i }[/math]
Multiplikation
Die Matrixmultiplikation ist möglich, wenn die Spaltenzahl von \(A\) gleich der Zeilenzahl von \(B\) ist. [math]\displaystyle{ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} }[/math]
Beispiele
Beispiel 1: Aufstellen einer Herstellungsmatrix
| Produkt | Rohstoff A | Rohstoff B |
|---|---|---|
| Z1 | 2 | 3 |
| Z2 | 1 | 4 |
Daraus ergibt sich die \(RZ\)-Matrix:
[math]\displaystyle{ RZ = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} }[/math]
Beispiel 2: Addition und Subtraktion
[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
Addition: [math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} }[/math]
Subtraktion: [math]\displaystyle{ A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} }[/math]
Beispiel 3: Skalarmultiplikation
[math]\displaystyle{ 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} }[/math]
Beispiel 4: Matrixmultiplikation
[math]\displaystyle{ C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix} }[/math]