Häufigkeit

In der Statistik werden Daten über reale Phänomene gesammelt, ausgewertet und mit Hilfe von Häufigkeiten analysiert. Das Ziel besteht darin, verlässliche und relevante Daten zu sammeln, die zur Beantwortung von Forschungsfragen, zur Unterstützung von Hypothesen oder zur Entscheidungsfindung genutzt werden können.

Statistische Begriffe

Wird der Teil einer Gesamtheit (ein Gegenstand, ein Phänomen oder ein System) betrachtet und analysiert, dann spricht man von einer Stichprobe. Das Ergebnis der Stichprobe wird in einer Urliste festgehalten. Alle in der Urliste enthaltenen Daten bezeichnet man als Rohdaten. Der Erhebungsumfang bezeichnet die Anzahl aller betrachteten Objekte. Die Eigenschaften der Objekte bezeichnen wir als Merkmale. Die Ausprägung eines Merkmals [math]\displaystyle{ i }[/math] heißt Merkmalsausprägung [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Man unterscheidet zwischen quantitativen Merkmalen (Zahlen: z. B. 160 cm) und qualitativen Merkmalen (z.B. Wörter: z. B. männlich oder weiblich). Eine Klasse fasst mehrere Merkmalausprägungen zu einer Gruppe zusammen.

Datenerhebung

Das Sammeln von Daten durch eine Stichprobe mit der Absicht, bestimmte Aussagen über die Gesamtheit zu treffen, nennt man Datenerhebung. Durch eine Datenerhebung soll festgestellt werden, wie die verschiedenen Ausprägungen eines Merkmals in einer Stichprobe verteilt sind. Vor der Datenerhebung sind die Merkmale, Merkmalsausprägungen und der Erhebungsumfang festzulegen. Anschließend werden die Daten gesammelt und in einer Urliste als Rohdaten festgehalten.

Definition

Es sei eine Urliste mit Rohdaten als Ergebnis einer Datenerhebung gegeben. Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung auftritt. Die relative Häufigkeit entspricht [math]\displaystyle{ \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Erhebungsumfang}} }[/math]. Die prozentuale Häufigkeit ist durch [math]\displaystyle{ \text{relative Häufigkeit} \cdot 100 }[/math] gegeben.

Beispiele

Die folgenden Beispiele zeigen wie die oberen Begriffe verwendet werden können.

Verwendung der Begriffe

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Daten in der Urliste sind die Rohdaten. Die Stichprobe sind die befragten Schüler. Der Erhebungsumfang ist 20, da 20 Schüler befragt wurden. Die Gesamtheit sind alle Schüler der Schule.

Schüler Nr.	Geschlecht	Körpergröße in cm	Sportart
01	w	160	Handball
02	m	176	Triathlon
...	...	...	...
20	w	176	Tanzen

In der obigen Tabelle sind Geschlecht und Sportart qualitative Merkmale. Körpergröße in cm ist ein quantitatives Merkmal. Die Merkmalsausprägung zum Merkmal Geschlecht für Schüler 01 ist [math]\displaystyle{ x_{Geschlecht}=w }[/math]. Die Merkmalsausprägung zum Merkmal Körpergröße in cm für Schüler 02 ist [math]\displaystyle{ x_{\text{Körpergröße in cm}}=176 }[/math].

Klasse

Das Ergebnis einer Datenerhebung sei eine Urliste, in der die Noten von Schülern enthalten sind. Das Merkmal Noten hat beispielsweise die Merkmalsausprägungen 1-; 1; 1+. Diese Merkmalsausprägungen können in der Klasse 1 zusammengefasst werden.

Berechnung der Häufigkeiten

Ein Würfel wurde 20 mal geworfen und die Augenzahl wurde anschließend in der folgenden Urliste festgehalten:

Wurfnummer	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Würfelaugen	1	1	1	3	3	2	2	4	4	4	4	5	5	5	5	5	6	6	6	6

Beispielsweise wurde bei Wurf 11 die 5 gewürfelt. Bei Wurf 4 und 5 wurde jeweils die 3 gewürfelt.

In der folgenden Tabelle wurden die Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen zum Merkmal Würfelaugen aus der Urliste berechnet:

Würfelaugen	1	2	3	4	5	6
Absolute Häufigkeit	3	2	2	4	5	4
Relative Häufigkeit	[math]\displaystyle{ \frac{3}{20}=0,15 }[/math]	0,1	0,1	0,2	0,25	0,2

So wurde beispielsweise die Augenzahl 1 insgesamt drei mal und die Augenzahl 6 insgesamt vier mal gewürfelt. Der Anteil der Würfe mit Augenzahl 4 an allen Würfen beträgt hierbei [math]\displaystyle{ \frac{2}{20}= 0,2 }[/math]. Die Augenzahl 3 wurde 2 mal gewürfelt, daher ist die absolute Häufigkeit 2 und die relative Häufigkeit [math]\displaystyle{ \frac{2}{20}=0,1 }[/math].