Gewinnfunktion

Bei der Gewinnanalyse werden Erlöse, Kosten und Gewinne für ein Produkt mit Hilfe von Funktionen modelliert, graphisch dargestellt und untersucht.

Gewinnfunktion

Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge $x$ den Gewinn $G(x)$ zuordnet, heißt Gewinnfunktion. Dabei ist wie zuvor $x\in [0;x_{max}]$. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: $G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)$

Beispiel - Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren

Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 18 € pro Fahrrad. Die Produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 30 Stück. Wie hoch ist der Gewinn, falls die Kapazitätsgrenze erreicht wird?

Für die Kostenfunktion gilt $K(x)=18x+2700$ mit $K_v=18$ und $K_f=2700$. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist $E_v=300$ und die Erlösfunktion $E(x)=300x$. Die Gewinnfunktion ist also $G\left(x\right)=E\left(x\right)-K\left(x\right)=300x-(18x+2700)=282x-2700$. Also ist der Gewinn für die Kapazitätsgrenze $G(30)=282\cdot 30-2700=5760$ €.

Beispiel - Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten

Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch $K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x$ gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.

Die Erlösfunktion, die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:

$E(x)=32,8x$

$K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20$

$G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20$

Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone

Die Gewinnschwelle $x_s$ ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die Gewinngrenze $x_g$ ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der Gewinnzone, $[x_s;x_g]$, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch $K(x)=E(x)$ oder $G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0$ berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.

Beispiel - Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln

Für die Gewinnfunktion $G\left(x\right)=282x-2700$ gilt

$282x-2700=0|+2700$

$282x=2700|:282$

$x\approx 9,57$

für die Gewinnschwelle.

Beispiel - Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung

Graph der Gewinnfunktion $G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20$

Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch $G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20$ gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.

Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die Nullstellen mit dem Taschenrechner berechnen:

$0=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20$

$x_1\approx -2,45,x_2=2,x_3\approx 20,45$ Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt $[2;20,45]$ und der ökonomische Definitionsbereich beträgt ${\mathbb{D}}_{\text{ök}}=[0;20,45]$. Um den Graphen der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in ${\mathbb{D}}_{\text{ök}}$:

x	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
G(x)	-20	0	42,4	97,6	156	208	244	254,4	229,6	160	36	-160

Beispielsweise gilt $G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4$. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite.

Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen

Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt $S(x_s|E(x_s))$ Break-Even-Point (BEP). Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.

Beispiel - Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln

Für die Gewinnfunktion $G\left(x\right)=282x-2700$ mit $K(x)=18x+2700$ und $E(x)=300x$ ist $x\approx 9,57$ die Gewinnschwelle (siehe Beispiel Gewinnschwelle). Der Break-Even-Point ergibt sich durch Einsetzen in die Erlösfunktion $E(9,57)\approx 300\cdot 9,57\approx 2872,34$ und ist damit $S(9,57|2872,34)$. Alternativ können die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichgesetzt werden:

$E(x)=K(x)$

$300x=18x+2700|-18x$

$300x-18x=2700|-2700$

$282x-2700=0$

Der Term im letzten Rechenschritt entspricht genau der Gewinnfunktion. Die restliche Rechnung läuft dann analog zu oben.