Zinseszinsrechnung

Bei der Zinseszinsrechnung wird ein Kapital (Geldbetrag) über einen Zeitraum (z. B. 5 Jahre) angelegt und verzinst (für das Anlegen erhält der Geldgeber regelmäßig einen Geldbetrag). Die Zinsen werden in der Regel jährlich ausgezahlt und wieder verzinst.

Beispiel

20000 € werden für 5,5 % pro Jahr für 10 Jahre angelegt

Wird ein Geldbetrag von 20000 € bei einem Zinssatz von 5,5% pro Jahr für genau 10 Jahre angelegt, ergibt sich die rechts abgebildete Rechnung.

Wir haben also zu Beginn einen Betrag von $K(0)=20000$€ und legen dieses Geld für $5,5\mathrm{\%}=0,055$ pro Jahr an. Nach einem Jahr erhalten wir $20000\cdot 0,055=1100$€ Zinsen ausgezahlt. Nach diesem Jahr besitzen wir insgesamt einen Geldbetrag von $20000+1100=21100$€. Anschließend werden die $21100$€ verzinst, d. h. die Zinsen über $1100$€ werden mit verzinst, daher sprechen wir von Zinseszinsrechnung. Nach zwei Jahren besitzen wir einen Geldbetrag von $21100+21100\cdot 0,055=22260,5$€. Wir besitzen also nach 10 Jahren $K(10)\approx 34162,89$€. Dieser Wert lässt sich auch direkt berechnen: $K\left(10\right)=20.000\cdot {1,055}^{10}\approx 34162,89$ Das untere Video veranschaulicht eine ähnliche Rechnung mit einem Zahlenstrahl.

Zinseszinsformel

Wird ein Anfangskapital K(0) mit einem Zinssatz von p verzinst, so erhält man nach einer Laufzeit von n Jahren das Endkapital $K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot {(1+p)}^n=K\left(0\right)\cdot q^n$. Diese Formel nennen wir Zinseszinsformel. Wir nennen $q=1+p$ auch Aufzinsungsfaktor.

Zinseszinsformel umformen

Die Zinseszinsformel können wir je nach gesuchter Größe geschickt umstellen:

Anfangskapital

K(0) gesucht:

$K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot q^n|:q^n$

$K\left(0\right)=\frac{K\left(n\right)}{q^n}$

Zinssatz

p gesucht:

$K(n)=K(0)\cdot q^n|:K(0)$

$q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}|\sqrt[n]{}$

$q=\sqrt[n]{\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}}$

$q=1+p|-1$

$q-1=p$

$p=\sqrt[n]{\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}}-1$

Zum Schluss wurde das Ergebnis für q in die Formel für p eingesetzt werden.

Laufzeit

n gesucht:

$K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot q^n|:K(0)$

$q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}|lo{g}_q$

$n=lo{g}_q\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)=\frac{log\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)}{log\left(q\right)}$