Lineare Funktion

Definition

Eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math] heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung [math]\displaystyle{ 𝑚 }[/math] und dem [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achsenabschnitt [math]\displaystyle{ 𝑏 }[/math]. Die Gleichung der Geraden ist [math]\displaystyle{ y=mx+b }[/math]. Ein Punkt [math]\displaystyle{ P(c|d) }[/math] liegt genau dann auf [math]\displaystyle{ f }[/math], wenn gilt: [math]\displaystyle{ d=m \cdot c+b }[/math].

Beispiel

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math] mit Steigung und y-Achsenabschenitt

Gegeben ist die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math]. Der [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achsenabschnitt ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math], da die Gerade im Punkt [math]\displaystyle{ (0|2) }[/math] die [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achse schneidet. Die Steigung ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math], da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist: [math]\displaystyle{ y=2x+2 }[/math]

Der Punkt [math]\displaystyle{ P(2|3) }[/math] liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt [math]\displaystyle{ 3\neq2\cdot2+2=6 }[/math]