Quadratische Funktion

Lineare Funktionen sind Funktionen der Form $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der Marktanalyse.

Betrag einer Zahl

Der Betrag einer reellen Zahl a misst den Abstand zu 0 und wird mit $|a|$ abgekürzt. Es gilt $a=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}.$ Wir verwenden den Betrag bei der Definition einer quadratischen Funktion.

Beispiel

Es gilt $\left|1\right|=1,|-2|=2,\left|0\right|=0,|-1|=1,\left|3\right|=3$.

Definition

Eine Funktion der Form $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 0$ heißt quadratische Funktion in Normalform, ihr Graph heißt Parabel. $a$ heißt Streckungsfaktor, wenn $|a|>1$ und Stauchungsfaktor, wenn $|a|<1$. Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt Scheitelpunkt oder Scheitel S. Der Graph von $f\left(x\right)=x^2$ heißt Normalparabel.

Beispiele für quadratische Funktionen

Graph der Funktion $E(x)=-0,8x^2+4x$

Der Graph der Funktion $E(x)=-0,8x^2+4x$ mit dem Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_E=[0;5]$ ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist $S(2,5|5)$. Die Normalparabel wurde um den Faktor $-0,8$ gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0|0)$.

Graph der Funktion $f(x)=x^2$

Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion $f(x)=x^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$ und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da $a=1$ ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0/0)$.

Graph der Funktion $f(x)=5x^2$

Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift $f(x)=5x^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$ und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da $a=5$ ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0/0)$.

Nullstellen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ${f\left(x\right)=x}^2+px+q$ werden durch Auflösen der Gleichung $x^2+px+q=0$ nach $x$ ausgerechnet. Für eine Nachfragefunktion wird die positive Nullstelle auch Sättigungsmenge genannt. Die Lösung der Gleichung wird mit der p-q-Formel berechnet: $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

Beispiel pq-Formel anwenden

Graph der Funktion $f(x)=2x^2+8x+4$ mit Nullstellen

Wir betrachten ${f\left(x\right)=2x}^2+8x+4$. Wir rechnen

${2x}^2+8x+4=0|÷2$

$x^2+4x+2=0$

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt $p=4$ und $q=2$. Diese Werte können wir einsetzen: $x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2}=-2-\sqrt{2}\approx -3,41$ und $x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2}=-2+\sqrt{2}\approx -0,59$

Also hat f die Nullstellen $x_1\approx -3,41$ und $x_2\approx -0,59$. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.

Beispiel Nullstellen ohne pq-Formel berechnen

Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden:

Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x:

$3{(x-5)}^2=27|÷3$

${(x-5)}^2=9|\sqrt{}$

$x-5=9\vee x-5=-9|+5$

$x=14\vee x=-4$

Produkt von Nullstellen:

$(x-8)(x+3)=0$

$x-8=0\vee x-3=0$

$x=8\vee x=3$

Direktes Auflösen nach x:

$7x^2-343=0|÷7$

$x^2-49=0|+49$

$x^2=49|\sqrt{}$

$x=7\vee x=-7$

Herleitung p-q-Formel (nur zur Vertiefung)

Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ zu bestimmen, rechnet man:

$a{x}^2+bx+c=0$

$a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0$

$a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0$

$a{(x}^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)+c=0$

$a{(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+c=0$

$a(x+\frac{b}{2a})=\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}$

Gilt $a=1$, so erhält man:

$x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}$

Nullstellenform

Eine Funktion der Form $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$ heißt quadratische Funktion in Nullstellenform. Die Nullstellen sind $x_1$ und $x_2$.

Beispiel mit Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=-4$

$x_1=3$ und $x_2=-4$ sind Nullstellen von $f$ mit $a=1$, dann ist $f\left(x\right)=1\cdot (x-3)\cdot (x+4)$ in Nullstellenform.

Beispiel mit Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=6$

$x_1=2$ und $x_2=6$ sind Nullstellen von $g$ mit $a=-3$, dann ist $g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2)\cdot (x-6)$ in Nullstellenform.

Scheitelpunktform

Eine Funktion der Form $f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f$ mit $a\ne 0$ heißt quadratische Funktion in Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist $S(e|f)$. Der Faktor $a$ ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

Graph der Funktion $f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion $f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1$. Der Scheitelpunkt ist dann $S(2|1)$. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

$f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1$

$f\left(x\right)=-2(x^2-4x+4)+1$

$f\left(x\right)=-2x^2+8x-8+1$

$f\left(x\right)=-2x^2+8x-7$

Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0|-7)$.