Angebotsvergleich: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei einem Angebotsvergleich liegen mehrere Angebote mit unterschiedlichen Zahlungsmöglichkeiten vor. Die Zahlungsmöglichkeiten werden auf den gleichen Zeitpunkt auf- oder abgezinst um das beste Angebot zu ermitteln.
Ein Angebotsvergleich wird durchgeführt, um das bestmögliche Angebot für ein Produkt oder eine Dienstleistung zu bestimmen.


==Äquivalenzprinzip der Mathematik==
==Äquivalenzprinzip der Mathematik==
Unterschiedliche Geldbeträge dürfen nur verglichen, addiert oder subtrahiert werden, wenn diese auf den gleichen Zeitpunkt auf- oder abgezinst wurden.
Unterschiedliche Geldbeträge dürfen nur verglichen, addiert oder subtrahiert werden, wenn diese auf den gleichen Zeitpunkt auf- oder abgezinst wurden.
In der Regel beziehen wir Geldbeträge auf den jetzigen Zeitpunkt (t=0) und nennen den jeweiligen Geldbetrag '''Barwert'''.
In der Regel beziehen wir Geldbeträge auf den jetzigen Zeitpunkt (<math>t=0</math>) und nennen den jeweiligen Geldbetrag '''Barwert'''.
 
==Definition==
Bei einem '''Angebotsvergleich''' liegen mehrere Angebote für ein Produkt oder eine Dienstleistung mit unterschiedlichen Zahlungsbedingungen vor. Die Zahlungsforderungen in einem Angebot werden auf den Zeitpunkt <math>t=0</math> abgezinst und anschließend miteinander addiert. Den resultierenden Wert nennen wir '''Barwert''' des Angebots. Abschließend werden die Barwerte miteinander verglichen, um das beste Angebot zu ermitteln.
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/mPwGFaFQ5LU?si=rTdru8wzdgwR8gFU" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Beispiele==
==Beispiele==
Wir betrachten im folgenden zwei Beispiele für einen Angebotsvergleich.
Wir betrachten im folgenden zwei Beispiele für einen Angebotsvergleich.
===Zahlungsoption beim Kauf eines Fahrrads auswählen===
===Angebotsvergleich mit Barwerten durchführen===
Wir haben uns ein Fahrrad gekauft. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Es besteht die Möglichkeit in einem Jahr 450 € oder in zwei Jahren 480 € zu zahlen.
Wir haben uns ein Fahrrad gekauft. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Es besteht die Möglichkeit in einem Jahr 450 € oder in zwei Jahren 480 € zu zahlen.


Wir berechnen die '''Barwerte''' durch '''Abzinsen''':
Wir verwenden die [[Zinseszinsrechnung#Zinseszinsformel|Zinseszinsformel]] und berechnen jeweils das [[Zinseszinsrechnung|Anfangskapital]]:


1. Möglichkeit mit q=1,04, n=1 und K(1)=450:
#Möglichkeit mit q=1,04, n=1 und K(1)=450: <br><math>K(n)=K(0)\cdot q^n</math><br><math>450=K(0)\cdot 1,04^1~|~:1,04</math><br><math>\frac{450}{{1,04}}=K(0)</math><br><math>432,69\approx K(0)</math>
#Möglichkeit mit q=1,04, n=2 und K(2)=480: <br><math>K(n)=K(0)\cdot q^n</math><br><math>450=K(0)\cdot 1,04^2~|~:1,04^2</math><br><math>\frac{450}{{1,04^2}}=K(0)</math><br><math>443,79\approx K(0)</math>


<math>K\left(0\right)=\frac{K\left(n\right)}{q^n}=\frac{450}{{1,04}^1}\approx432,69</math>
Wir wählen Möglichkeit 1 wählen, weil das Anfangskapital mit ca. 432,69 € geringer ist als das Anfangskapital über 443,79 € bei Möglichkeit 2.


2. Möglichkeit mit q=1,04, n=2 und K(2)=480:
===Angebotsvergleich ohne Barwerte durchführen===
 
Wir haben uns ein Fahrrad gekauft. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Es besteht die Möglichkeit in einem Jahr 450 € oder in zwei Jahren 480 € zu zahlen.
<math>K\left(0\right)=\frac{K\left(n\right)}{q^n}=\frac{480}{{1,04}^2}\approx443,79</math>
 
Wir würden Möglichkeit 1 wählen, weil der Barwert mit ca. 432,69 € geringer ist als der Barwert über 443,79 € bei Möglichkeit 2.
 
'''Alternativ''' können wir die Zahlungen '''aufzinsen''' und anschließend vergleichen:
 
1. Möglichkeit mit q=1,04, n=1 und K(1)=450:
 
<math>K\left(2\right)=450\cdot1,04=468</math>


2. Möglichkeit mit q=1,04, n=2 und K(2)=480:
Alternativ zur vorherigen Rechnung können wir die Zahlungen aufzinsenund anschließend vergleichen:


<math>K\left(2\right)=480</math>
#Möglichkeit mit <math>q=1,04,~n=1 \text{ und } K(1)=450</math>: <br><math>K\left(2\right)=450\cdot1,04=468</math>
#Möglichkeit mit <math>q=1,04,~n=2 \text{ und } K(2)=480</math>:<br><math>K\left(2\right)=480</math>


Gemäß dem Äquivalenzprinzip ist Möglichkeit 1 wieder besser.
Gemäß dem Äquivalenzprinzip ist Möglichkeit 1 wieder besser.
===Erklärvideo zu einem Angebotsvergleich===
Im folgenden Video wird ein Angebotsvergleich mit drei unterschiedlichen Angeboten durchgeführt und das beste Angebot ausgewählt.
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/mPwGFaFQ5LU?si=rTdru8wzdgwR8gFU" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Fachabitur]]
[[Kategorie:Fachabitur]]

Version vom 16. Juli 2024, 16:20 Uhr

Ein Angebotsvergleich wird durchgeführt, um das bestmögliche Angebot für ein Produkt oder eine Dienstleistung zu bestimmen.

Äquivalenzprinzip der Mathematik

Unterschiedliche Geldbeträge dürfen nur verglichen, addiert oder subtrahiert werden, wenn diese auf den gleichen Zeitpunkt auf- oder abgezinst wurden. In der Regel beziehen wir Geldbeträge auf den jetzigen Zeitpunkt ([math]\displaystyle{ t=0 }[/math]) und nennen den jeweiligen Geldbetrag Barwert.

Definition

Bei einem Angebotsvergleich liegen mehrere Angebote für ein Produkt oder eine Dienstleistung mit unterschiedlichen Zahlungsbedingungen vor. Die Zahlungsforderungen in einem Angebot werden auf den Zeitpunkt [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] abgezinst und anschließend miteinander addiert. Den resultierenden Wert nennen wir Barwert des Angebots. Abschließend werden die Barwerte miteinander verglichen, um das beste Angebot zu ermitteln.

Beispiele

Wir betrachten im folgenden zwei Beispiele für einen Angebotsvergleich.

Angebotsvergleich mit Barwerten durchführen

Wir haben uns ein Fahrrad gekauft. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Es besteht die Möglichkeit in einem Jahr 450 € oder in zwei Jahren 480 € zu zahlen.

Wir verwenden die Zinseszinsformel und berechnen jeweils das Anfangskapital:

  1. Möglichkeit mit q=1,04, n=1 und K(1)=450:
    [math]\displaystyle{ K(n)=K(0)\cdot q^n }[/math]
    [math]\displaystyle{ 450=K(0)\cdot 1,04^1~|~:1,04 }[/math]
    [math]\displaystyle{ \frac{450}{{1,04}}=K(0) }[/math]
    [math]\displaystyle{ 432,69\approx K(0) }[/math]
  2. Möglichkeit mit q=1,04, n=2 und K(2)=480:
    [math]\displaystyle{ K(n)=K(0)\cdot q^n }[/math]
    [math]\displaystyle{ 450=K(0)\cdot 1,04^2~|~:1,04^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ \frac{450}{{1,04^2}}=K(0) }[/math]
    [math]\displaystyle{ 443,79\approx K(0) }[/math]

Wir wählen Möglichkeit 1 wählen, weil das Anfangskapital mit ca. 432,69 € geringer ist als das Anfangskapital über 443,79 € bei Möglichkeit 2.

Angebotsvergleich ohne Barwerte durchführen

Wir haben uns ein Fahrrad gekauft. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Es besteht die Möglichkeit in einem Jahr 450 € oder in zwei Jahren 480 € zu zahlen.

Alternativ zur vorherigen Rechnung können wir die Zahlungen aufzinsenund anschließend vergleichen:

  1. Möglichkeit mit [math]\displaystyle{ q=1,04,~n=1 \text{ und } K(1)=450 }[/math]:
    [math]\displaystyle{ K\left(2\right)=450\cdot1,04=468 }[/math]
  2. Möglichkeit mit [math]\displaystyle{ q=1,04,~n=2 \text{ und } K(2)=480 }[/math]:
    [math]\displaystyle{ K\left(2\right)=480 }[/math]

Gemäß dem Äquivalenzprinzip ist Möglichkeit 1 wieder besser.

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