Zinseszinsrechnung

Bei der Zinseszinsrechnung wird ein Kapital (Geldbetrag) über einen Zeitraum angelegt und verzinst. Die Zinsen werden in der Regel jährlich ausgezahlt und wieder verzinst.

Beispiel

20000 € werden für 5,5 % pro Jahr für 10 Jahre angelegt

Wird ein Geldbetrag von 20000 € bei einem Zinssatz von 5,5% pro Jahr für genau 10 Jahre angelegt, ergibt sich die rechts abgebildete Rechnung.

Wir haben also zu Beginn einen Betrag von [math]\displaystyle{ K(0)=20000 }[/math]€ und legen dieses Geld für [math]\displaystyle{ 5,5\%=0,055 }[/math] pro Jahr an. Nach einem Jahr erhalten wir [math]\displaystyle{ 20000 \cdot 0,055=1100 }[/math]€ Zinsen ausgezahlt. Nach diesem Jahr besitzen wir insgesamt einen Geldbetrag von [math]\displaystyle{ 20000+1100=21100 }[/math]€. Anschließend werden die [math]\displaystyle{ 21100 }[/math]€ verzinst, d. h. die Zinsen über [math]\displaystyle{ 1100 }[/math]€ werden mit verzinst, daher sprechen wir von Zinseszinsrechnung. Nach zwei Jahren besitzen wir einen Geldbetrag von [math]\displaystyle{ 21100+21100 \cdot 0,055= 22260,5 }[/math]€. Wir besitzen also nach 10 Jahren [math]\displaystyle{ K(10)\approx34162,89 }[/math]€. Dieser Wert lässt sich auch direkt berechnen: [math]\displaystyle{ K\left(10\right)=20.000\cdot{1,055}^{10}\approx34162,89 }[/math] Das untere Video veranschaulicht eine ähnliche Rechnung mit einem Zahlenstrahl.

Zinseszinsformel

Wird ein Anfangskapital K(0) mit einem Zinssatz von p verzinst, so erhält man nach einer Laufzeit von n Jahren das Endkapital [math]\displaystyle{ K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot\left(1+p\right)^n=K\left(0\right)\cdot q^n }[/math]. Diese Formel nennen wir Zinseszinsformel. Wir nennen [math]\displaystyle{ q=1+p }[/math] auch Aufzinsungsfaktor.

Zinseszinsformel umformen

Die Zinseszinsformel können wir je nach gesuchter Größe geschickt umstellen:

Anfangskapital

K(0) gesucht:

[math]\displaystyle{ K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot q^n\ |:q^n }[/math]

[math]\displaystyle{ K\left(0\right)=\frac{K\left(n\right)}{q^n} }[/math]

Zinssatz

p gesucht:

[math]\displaystyle{ K(n)=K(0)\cdot q^n\ |:K(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\ |\ \sqrt[n]{~~} }[/math]

[math]\displaystyle{ q=\sqrt[n]{\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ q=1+p\ |\ -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ q-1=p\ }[/math]

[math]\displaystyle{ p=\sqrt[n]{\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}}-1 }[/math]

Zum Schluss wurde das Ergebnis für q in die Formel für p eingesetzt werden.

Laufzeit

n gesucht:

[math]\displaystyle{ K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot q^n\ |:K(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\ |log_q }[/math]

[math]\displaystyle{ n=log_q\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)=\frac{log\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)}{log\left(q\right)} }[/math]