Gewinnfunktion

Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.

Definition

Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge [math]\displaystyle{ x }[/math] den Gewinn [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] zuordnet, heißt Gewinnfunktion. Dabei ist wie zuvor [math]\displaystyle{ x \in[0;x_{max}] }[/math]. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: [math]\displaystyle{ G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x) }[/math]

Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone

Die Gewinnschwelle [math]\displaystyle{ x_s }[/math] ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die Gewinngrenze [math]\displaystyle{ x_g }[/math] ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der Gewinnzone, [math]\displaystyle{ [x_s;x_g] }[/math], liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch [math]\displaystyle{ K(x)=E(x) }[/math] oder [math]\displaystyle{ G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0 }[/math] berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.

Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen

Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt [math]\displaystyle{ S(x_s| E(x_s)) }[/math] Break-Even-Point (BEP). Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.

Beispiele

Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren

Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 18 € pro Fahrrad. Die Produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 30 Stück. Wie hoch ist der Gewinn, falls die Kapazitätsgrenze erreicht wird?

Für die Kostenfunktion gilt [math]\displaystyle{ K(x)=18x\ +2700 }[/math] mit [math]\displaystyle{ K_v=18 }[/math] und [math]\displaystyle{ K_f=2700 }[/math]. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist [math]\displaystyle{ E_v=300 }[/math] und die Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E(x)=300x }[/math]. Die Gewinnfunktion ist also [math]\displaystyle{ G\left(x\right)=E\left(x\right)-K\left(x\right)=300x\ -\left(18x\ +2700\right)=282x-2700 }[/math]. Also ist der Gewinn für die Kapazitätsgrenze [math]\displaystyle{ G(30)=282 \cdot 30-2700=5760 }[/math] €.

Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten

Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch [math]\displaystyle{ K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x }[/math] gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.

Die Erlösfunktion, die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:

[math]\displaystyle{ E(x)=32,8x }[/math]

[math]\displaystyle{ K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20 }[/math]

[math]\displaystyle{ G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20 }[/math]

Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln

Für die Gewinnfunktion [math]\displaystyle{ G\left(x\right)=282x-2700 }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ 282x-2700=0\ |+2700 }[/math]

[math]\displaystyle{ 282x=2700\ |:282 }[/math]

[math]\displaystyle{ x \approx 9,57 }[/math]

für die Gewinnschwelle.

Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung

Graph der Gewinnfunktion [math]\displaystyle{ G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20 }[/math]

Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch [math]\displaystyle{ G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20 }[/math] gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.

Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die Nullstellen mit dem Taschenrechner berechnen:

[math]\displaystyle{ 0=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 \approx -2,45, x_2=2, x_3 \approx 20,45 }[/math] Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt [math]\displaystyle{ [2;20,45] }[/math] und der ökonomische Definitionsbereich beträgt [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;20,45] }[/math]. Um den Graphen der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math]:

x	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
G(x)	-20	0	42,4	97,6	156	208	244	254,4	229,6	160	36	-160

Beispielsweise gilt [math]\displaystyle{ G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4 }[/math]. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite.

Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln

Für die Gewinnfunktion [math]\displaystyle{ G\left(x\right)=282x-2700 }[/math] mit [math]\displaystyle{ K(x)=18x+2700 }[/math] und [math]\displaystyle{ E(x)=300x }[/math] ist [math]\displaystyle{ x \approx 9,57 }[/math] die Gewinnschwelle (siehe Beispiel Gewinnschwelle). Der Break-Even-Point ergibt sich durch Einsetzen in die Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E(9,57)\approx300\cdot 9,57\approx2872,34 }[/math] und ist damit [math]\displaystyle{ S(9,57|2872,34) }[/math]. Alternativ können die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichgesetzt werden:

[math]\displaystyle{ E(x)=K(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ 300x=18x+2700\ |-18x }[/math]

[math]\displaystyle{ 300x-18x=2700\ |-2700 }[/math]

[math]\displaystyle{ 282x-2700=0 }[/math]

Der Term im letzten Rechenschritt entspricht genau der Gewinnfunktion. Die restliche Rechnung läuft dann analog zu oben.