Gozintograph: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Gozintograph''' (von engl. *goes into* = „geht hinein“) ist ein gerichteter Graph, der die Zerlegung eines Endprodukts in seine Einzelteile oder Komponenten beschreibt.   
Ein '''Gozintograph''' (von engl. ''goes into'' = „geht hinein“) ist ein gerichteter Graph, der die Zerlegung eines Endprodukts in seine Einzelteile oder Komponenten beschreibt.   
Jede Kante stellt dabei eine „Gozinto“-Beziehung dar: Sie zeigt von einer Komponente (Teil) auf das Produkt, in das sie eingeht. Der Gozintograph ist ein zentrales Hilfsmittel in der Produktionsplanung und Stücklistenverwaltung.
Jede Kante stellt dabei eine „Gozinto“-Beziehung dar: Sie zeigt von einer Komponente auf das Produkt, in das sie eingeht. Der Gozintograph ist ein zentrales Hilfsmittel in der Produktionsplanung und Stücklistenverwaltung.


== Definition ==
== Definition ==
Ein Gozintograph ist ein gerichteter, azyklischer Graph \( G = (V, E) \), wobei:
* \( V \) die Menge der Knoten darstellt (Produkte oder Teile),
* \( E \subseteq V \times V \) die gerichteten Kanten darstellt, welche „geht-in“-Beziehungen symbolisieren.


Eine Kante \( (v_i, v_j, a_{ij}) \) mit der Beschriftung \( a_{ij} \) zeigt an, dass zur Herstellung eines Teils \( v_j \) genau \( a_{ij} \) Einheiten von Teil \( v_i \) benötigt werden.
Ein Gozintograph ist ein gerichteter, azyklischer Graph
 
:<math>G=(V,E)</math>
 
mit:
* <math>V</math> als Menge der Knoten (Produkte oder Komponenten),
* <math>E \subseteq V \times V</math> als Menge der gerichteten Kanten.
 
Zusätzlich besitzt jede Kante ein Gewicht <math>a_{ij} \in \mathbb{N}</math>. 
Eine Kante <math>(v_i,v_j)\in E</math> mit Gewicht <math>a_{ij}</math> bedeutet, dass zur Herstellung des Produkts <math>v_j</math> genau <math>a_{ij}</math> Einheiten der Komponente <math>v_i</math> benötigt werden.
 
Da rekursive Stücklisten ausgeschlossen werden, enthält ein Gozintograph keine Zyklen.


== Zusammenhang zu Matrizen ==
== Zusammenhang zu Matrizen ==
Die Informationen eines Gozintographen lassen sich in einer sogenannten '''Gozintomatrix''' darstellen.   
Die Informationen eines Gozintographen lassen sich in einer sogenannten '''Gozintomatrix''' darstellen.   
Diese ist eine [[Matrix]] \( A = (a_{ij}) \), bei der das Element \( a_{ij} \) die Anzahl der Einheiten von Komponente \( i \) angibt, die für die Herstellung von Produkt \( j \) benötigt wird. 
In der Produktionsplanung kann die benötigte Gesamtmenge aller Einzelteile über die Gleichung


\[ \mathbf{x} = (I - A)^{-1} \mathbf{y} \]
Dies ist eine Matrix
 
:<math>A=(a_{ij})</math>


bestimmt werden, wobei \( \mathbf{y} \) den Vektor der Endprodukte und \( \mathbf{x} \) den Vektor der benötigten Teilemengen beschreibt.
bei der das Element <math>a_{ij}</math> die Anzahl der Einheiten der Komponente <math>i</math> angibt, die unmittelbar zur Herstellung des Produkts <math>j</math> benötigt werden.
 
Unter der Voraussetzung, dass der Gozintograph zyklusfrei ist und <math>I-A</math> invertierbar ist, kann der Gesamtbedarf aller Komponenten über die Gleichung
 
:<math>
\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{y}
</math>
 
bestimmt werden, wobei:
* <math>\mathbf{y}</math> den Vektor der Endprodukte,
* <math>\mathbf{x}</math> den Vektor der insgesamt benötigten Komponentenmengen
 
beschreibt.
 
== Beispiele ==


==Beispiele==
=== Produktion eines Produkts aus Einzelteilen ===
=== Produktion eines Produkts aus Einzelteilen ===


Im folgenden Beispiel werden fünf Bauteile \( B_1, B_2, B_3, B_4, B_5 \) aus vier Einzelteilen \( E_1, E_2, E_3, E_4 \) gefertigt.   
Im folgenden Beispiel werden fünf Bauteile <math>B_1,B_2,B_3,B_4,B_5</math> aus vier Einzelteilen <math>E_1,E_2,E_3,E_4</math> gefertigt.   
Die Pfeile zeigen, welche Einzelteile in welches Bauteil eingehen. Die Zahlen an den Pfeilen geben die Stückzahl an.
Die Pfeile zeigen, welche Einzelteile in welches Bauteil eingehen. Die Zahlen an den Pfeilen geben die benötigte Stückzahl an.
 
<!-- VARIANTE B – FINAL OPTIMIERT -->
<!-- VARIANTE B – FINAL OPTIMIERT -->
<html>
<html>
Zeile 51: Zeile 74:
   }
   }


  /* Einheitliche Schriftgröße */
   .node-text, .count-text {
   .node-text, .count-text {
     font-family:sans-serif;
     font-family:sans-serif;
Zeile 83: Zeile 105:
   const svg = document.getElementById("gozinto_svg_2");
   const svg = document.getElementById("gozinto_svg_2");


  // leicht reduzierte Abstände
   const scale = 100;
   const scale = 100;
   const yOffset = 0;           // früher 5 20 → Grafik rückt nach oben
   const yOffset = 0;
   const xOffsetGlobal = 120;   // gesamte Grafik leicht nach rechts (zentrieren)
   const xOffsetGlobal = 120;


   function svgEl(name, attrs){
   function svgEl(name, attrs){
Zeile 101: Zeile 122:
   }
   }


  // ----------- NODE -----------
   function createNode(id, cx, cy, w, h, label){
   function createNode(id, cx, cy, w, h, label){
     cx += xOffsetGlobal/scale;   // gesamte Grafik nach rechts versetzt
     cx += xOffsetGlobal/scale;


     const g = svgEl("g", {"data-id":id});
     const g = svgEl("g", {"data-id":id});
     const rect = svgEl("rect", {
     const rect = svgEl("rect", {
       class:"node-rect",
       class:"node-rect",
       x:(cx-w/2)*scale, y:(cy-h/2)*scale + yOffset,
       x:(cx-w/2)*scale,
       width:w*scale, height:h*scale, rx:6, ry:6
      y:(cy-h/2)*scale + yOffset,
       width:w*scale,
      height:h*scale,
      rx:6,
      ry:6
     });
     });


     const text = svgEl("text", {
     const text = svgEl("text", {
       class:"node-text",
       class:"node-text",
       x:cx*scale, y:cy*scale+yOffset,
       x:cx*scale,
      y:cy*scale+yOffset,
       "text-anchor":"middle",
       "text-anchor":"middle",
       "dominant-baseline":"middle"
       "dominant-baseline":"middle"
     });
     });
     text.textContent = label;
     text.textContent = label;


Zeile 126: Zeile 152:
     const node = {id,cx,cy,w,h,rect,text,g};
     const node = {id,cx,cy,w,h,rect,text,g};


    // Draggen
     let dragging=false, start={};
     let dragging=false, start={};


Zeile 138: Zeile 163:
     rect.addEventListener("pointermove", e=>{
     rect.addEventListener("pointermove", e=>{
       if(!dragging) return;
       if(!dragging) return;
       const p = getSVGcoords(e);
       const p = getSVGcoords(e);
       node.cx = start.cx + (p.x - start.px)/scale;
       node.cx = start.cx + (p.x - start.px)/scale;
       node.cy = start.cy + (p.y - start.py)/scale;
       node.cy = start.cy + (p.y - start.py)/scale;
       updateNode(node);
       updateNode(node);
       updateAllEdges();
       updateAllEdges();
Zeile 160: Zeile 188:
   }
   }


  // ------- Geometrie -------
   function intersectRectBorder(node, tx, ty){
   function intersectRectBorder(node, tx, ty){
     const cx=node.cx, cy=node.cy, w2=node.w/2, h2=node.h/2;
     const cx=node.cx, cy=node.cy, w2=node.w/2, h2=node.h/2;
     const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
     const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
     let pts=[];
     let pts=[];


     if(Math.abs(dx)>1e-9){
     if(Math.abs(dx)>1e-9){
       let t1=(-w2)/dx; let y1=cy+t1*dy;
       let t1=(-w2)/dx;
       if(t1>0 && y1>=cy-h2 && y1<=cy+h2) pts.push({x:cx-w2,y:y1,t:t1});
      let y1=cy+t1*dy;
       let t2=(w2)/dx; let y2=cy+t2*dy;
 
       if(t2>0 && y2>=cy-h2 && y2<=cy+h2) pts.push({x:cx+w2,y:y2,t:t2});
       if(t1>0 && y1>=cy-h2 && y1<=cy+h2)
        pts.push({x:cx-w2,y:y1,t:t1});
 
       let t2=(w2)/dx;
      let y2=cy+t2*dy;
 
       if(t2>0 && y2>=cy-h2 && y2<=cy+h2)
        pts.push({x:cx+w2,y:y2,t:t2});
     }
     }
     if(Math.abs(dy)>1e-9){
     if(Math.abs(dy)>1e-9){
       let t3=(-h2)/dy; let x3=cx+t3*dx;
       let t3=(-h2)/dy;
       if(t3>0 && x3>=cx-w2 && x3<=cx+w2) pts.push({x:x3,y:cy-h2,t:t3});
      let x3=cx+t3*dx;
       let t4=(h2)/dy; let x4=cx+t4*dx;
 
       if(t4>0 && x4>=cx-w2 && x4<=cx+w2) pts.push({x:x4,y:cy+h2,t:t4});
       if(t3>0 && x3>=cx-w2 && x3<=cx+w2)
        pts.push({x:x3,y:cy-h2,t:t3});
 
       let t4=(h2)/dy;
      let x4=cx+t4*dx;
 
       if(t4>0 && x4>=cx-w2 && x4<=cx+w2)
        pts.push({x:x4,y:cy+h2,t:t4});
     }
     }
     pts.sort((a,b)=>a.t-b.t);
     pts.sort((a,b)=>a.t-b.t);
     return pts[0] || {x:cx,y:cy};
     return pts[0] || {x:cx,y:cy};
   }
   }


   function pointOnCircle(cx,cy,R,tx,ty){
   function pointOnCircle(cx,cy,R,tx,ty){
     const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
     const dx=tx-cx;
    const dy=ty-cy;
 
     const d=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
     const d=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
     if(d<1e-9) return {x:cx,y:cy};
     if(d<1e-9) return {x:cx,y:cy};
     return {x:cx+R*dx/d, y:cy+R*dy/d};
 
     return {
      x:cx+R*dx/d,
      y:cy+R*dy/d
    };
   }
   }


   function makeArrowHead(x,y,ux,uy,size){
   function makeArrowHead(x,y,ux,uy,size){
     let px=-uy, py=ux;
     let px=-uy, py=ux;
     return `M ${x} ${y}
     return `M ${x} ${y}
             L ${x-ux*size+px*size*0.5} ${y-uy*size+py*size*0.5}
             L ${x-ux*size+px*size*0.5} ${y-uy*size+py*size*0.5}
Zeile 199: Zeile 252:


   function makeConnection(fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset){
   function makeConnection(fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset){
     const g=svgEl("g",{});
     const g=svgEl("g",{});
     const lineA=svgEl("path",{class:"edge-line"});
     const lineA=svgEl("path",{class:"edge-line"});
     const lineB=svgEl("path",{class:"edge-line"});
     const lineB=svgEl("path",{class:"edge-line"});
Zeile 207: Zeile 262:


     text.textContent=amount;
     text.textContent=amount;
     g.appendChild(lineA);
     g.appendChild(lineA);
     g.appendChild(lineB);
     g.appendChild(lineB);
Zeile 212: Zeile 268:
     g.appendChild(text);
     g.appendChild(text);
     g.appendChild(arrow);
     g.appendChild(arrow);
     svg.appendChild(g);
     svg.appendChild(g);


     let e={fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset,circle,text,lineA,lineB,arrow};
     let e={
      fromNode,
      toNode,
      amount,
      yMid,
      xOffset,
      circle,
      text,
      lineA,
      lineB,
      arrow
    };
 
     edges.push(e);
     edges.push(e);
     updateEdge(e);
     updateEdge(e);
   }
   }


   function updateEdge(e){
   function updateEdge(e){
     const cx=(e.fromNode.cx+e.toNode.cx)/2+(e.xOffset||0);
     const cx=(e.fromNode.cx+e.toNode.cx)/2+(e.xOffset||0);
     const cy=e.yMid;
     const cy=e.yMid;
Zeile 230: Zeile 301:
     const pCircleOut=pointOnCircle(cx,cy,R,pT.x,pT.y);
     const pCircleOut=pointOnCircle(cx,cy,R,pT.x,pT.y);


     const px=p=>[p.x*scale, p.y*scale+yOffset];
     const px=p=>[p.x*scale,p.y*scale+yOffset];
     const F=px(pF), Ci=px(pCircleIn), Co=px(pCircleOut), T=px(pT);
 
     const F=px(pF),
          Ci=px(pCircleIn),
          Co=px(pCircleOut),
          T=px(pT);


     e.lineA.setAttribute("d",`M ${F[0]} ${F[1]} L ${Ci[0]} ${Ci[1]}`);
     e.lineA.setAttribute("d",`M ${F[0]} ${F[1]} L ${Ci[0]} ${Ci[1]}`);
Zeile 240: Zeile 315:
     e.circle.setAttribute("r",R*scale);
     e.circle.setAttribute("r",R*scale);


     e.text.setAttribute('x', cx*scale-5);
     e.text.setAttribute("x",cx*scale-5);
     e.text.setAttribute('y', cy*scale + yOffset+5);
     e.text.setAttribute("y",cy*scale+yOffset+5);


     let ux=T[0]-Co[0], uy=T[1]-Co[1];
     let ux=T[0]-Co[0];
    let L=Math.sqrt(ux*ux+uy*uy); if(L<1e-6) L=1;
    let uy=T[1]-Co[1];
    ux/=L; uy/=L;


     e.arrow.setAttribute("d",makeArrowHead(T[0],T[1],ux,uy,10));
    let L=Math.sqrt(ux*ux+uy*uy);
 
    if(L<1e-6) L=1;
 
    ux/=L;
    uy/=L;
 
     e.arrow.setAttribute(
      "d",
      makeArrowHead(T[0],T[1],ux,uy,10)
    );
   }
   }


   function updateAllEdges(){ edges.forEach(updateEdge); }
   function updateAllEdges(){
    edges.forEach(updateEdge);
  }


  // ------------ Nodes ------------
   const nodes={};
   const nodes={};


  // Einzelteile oben
   nodes.E1=createNode("E1",0,0.5,1.0,0.5,"E1");
   nodes.E1=createNode("E1",0,0.5,1.0,0.5,"E1");
   nodes.E2=createNode("E2",2.5,0.5,1.0,0.5,"E2");
   nodes.E2=createNode("E2",2.5,0.5,1.0,0.5,"E2");
Zeile 261: Zeile 345:
   nodes.E4=createNode("E4",7.5,0.5,1.0,0.5,"E4");
   nodes.E4=createNode("E4",7.5,0.5,1.0,0.5,"E4");


  // Bauteile darunter
   nodes.B1=createNode("B1",0.75,4.5,1.0,0.5,"B1");
   nodes.B1=createNode("B1",0.75,4.5,1.0,0.5,"B1");
   nodes.B2=createNode("B2",2.5,4.5,1.0,0.5,"B2");
   nodes.B2=createNode("B2",2.5,4.5,1.0,0.5,"B2");
Zeile 268: Zeile 351:
   nodes.B5=createNode("B5",10,4.5,1.0,0.5,"B5");
   nodes.B5=createNode("B5",10,4.5,1.0,0.5,"B5");


  // ------------ Verbindungen ------------
   makeConnection(nodes.E1,nodes.B1,"2",2.2,-0.2);
   makeConnection(nodes.E1,nodes.B1,"2",2.2,-0.2);
   makeConnection(nodes.E2,nodes.B1,"1",2.2, 0.2);
   makeConnection(nodes.E2,nodes.B1,"1",2.2,0.2);


   makeConnection(nodes.E1,nodes.B2,"2",2.2,-0.2);
   makeConnection(nodes.E1,nodes.B2,"2",2.2,-0.2);
   makeConnection(nodes.E2,nodes.B2,"1",2.2, 0.2);
   makeConnection(nodes.E2,nodes.B2,"1",2.2,0.2);


   makeConnection(nodes.E1,nodes.B3,"1",2.2,-0.25);
   makeConnection(nodes.E1,nodes.B3,"1",2.2,-0.25);
   makeConnection(nodes.E2,nodes.B3,"1",2.2, 0.0);
   makeConnection(nodes.E2,nodes.B3,"1",2.2,0.0);
   makeConnection(nodes.E3,nodes.B3,"1",2.2, 0.25);
   makeConnection(nodes.E3,nodes.B3,"1",2.2,0.25);


   makeConnection(nodes.E1,nodes.B4,"2",2.2,-0.3);
   makeConnection(nodes.E1,nodes.B4,"2",2.2,-0.3);
   makeConnection(nodes.E3,nodes.B4,"1",2.2, 0.0);
   makeConnection(nodes.E3,nodes.B4,"1",2.2,0.0);
   makeConnection(nodes.E4,nodes.B4,"1",2.2, 0.3);
   makeConnection(nodes.E4,nodes.B4,"1",2.2,0.3);


   makeConnection(nodes.E1,nodes.B5,"1",2.2,-0.2);
   makeConnection(nodes.E1,nodes.B5,"1",2.2,-0.2);
   makeConnection(nodes.E4,nodes.B5,"2",2.2, 0.2);
   makeConnection(nodes.E4,nodes.B5,"2",2.2,0.2);


   updateAllEdges();
   updateAllEdges();
})();
})();
</script>
</script>
</html>
</html>


Die Gozintomatrix zum oberen Gozintographen kann dann aus der Tabelle  
Die Gozintomatrix zum oberen Gozintographen kann aus folgender Tabelle abgeleitet werden:


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
!     !! B1   !! B2 !! B3 !! B4 !! B5
! !! B1 !! B2 !! B3 !! B4 !! B5
|-
|-
| '''E1'''   || 2 || 2 || 1 || 1
| '''E1''' || 2 || 2 || 1 || 2 || 1
|-
|-
| '''E2'''   || 1 || 1 || 1 || 0
| '''E2''' || 1 || 1 || 1 || 0 || 0
|-
|-
| '''E3'''   || 0 || 0 || 1 || 0
| '''E3''' || 0 || 0 || 1 || 1 || 0
|-
|-
| '''E3'''   || 0 || 0 || 0 || 2
| '''E4''' || 0 || 0 || 0 || 1 || 2
|}
|}


abgeleitet werden und ist dann durch
und ist durch


:<math>
:<math>
A = \begin{pmatrix}
A =
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
Zeile 315: Zeile 398:
0 & 0 & 0 & 1 & 2
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>  
</math>


gegeben. Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass 2 Einzelteile von E1, 1 Einzelteil von E2 sowie 0 Einzelteile von E3 und E4 für die Herstellung eines Bauteils B1 benötigt werden.
gegeben.


=== Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte ===
Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass zur Herstellung eines Bauteils <math>B_1</math>


Ein Spielwarenhersteller produziert aus drei Rohstoffen \(R_1, R_2, R_3\) zunächst die beiden Zwischenprodukte \(Z_1, Z_2\), aus denen anschließend die drei Endprodukte \(E_1, E_2, E_3\) gefertigt werden.
* 2 Einheiten von <math>E_1</math>,
* 1 Einheit von <math>E_2</math>,
* 0 Einheiten von <math>E_3</math>,
* 0 Einheiten von <math>E_4</math>


Die Pfeile im Gozintographen geben an, wie viele Tonnen eines Materials zur Produktion von 1 Tonne des entstehenden Produkts benötigt werden. 
benötigt werden.
Beispiel: Für die Herstellung von 1 Tonne \(Z_1\) werden 3 Tonnen \(R_1\) und 4 Tonnen \(R_2\) benötigt.


<!-- GOZINTOGRAPH: Rohstoffe → Zwischenprodukte → Endprodukte -->
=== Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte ===
<html>
<style>
  .gozinto-wrap {
    width:95vw;
    height:60vw;
    max-width:1200px;
    max-height:650px;
    border:0;
    margin:0;
    padding:0;
  }
 
  svg {
    width:100%;
    height:100%;
    touch-action:none;
    user-select:none;
    background:white;
  }
 
  .node-rect {
    fill:#3498db;
    stroke:#1f4e78;
    stroke-width:2;
    cursor:grab;
  }
 
  .node-text, .count-text {
    font-family:sans-serif;
    font-size:14px;
    fill:#000;
    pointer-events:none;
  }
 
  .edge-line {
    stroke:#000;
    stroke-width:2;
    fill:none;
  }
 
  .edge-arrow { fill:#000; }
 
  .count-circle {
    fill:#fff;
    stroke:#000;
    stroke-width:1.5;
  }
</style>
 
<div class="gozinto-wrap">
<svg id="gozinto_svg" viewBox="0 0 1180 600" preserveAspectRatio="xMinYMin meet">
</svg>
</div>
 
<script>
(function(){
  const svg = document.getElementById("gozinto_svg");
 
  const scale = 100;
  const yOffset = 0;
  const xOffsetGlobal = 120;
 
  function svgEl(name, attrs){
    const el = document.createElementNS("http://www.w3.org/2000/svg", name);
    for(const k in (attrs||{})) el.setAttribute(k, attrs[k]);
    return el;
  }
 
  function getSVGcoords(evt){
    const pt = svg.createSVGPoint();
    pt.x = evt.clientX;
    pt.y = evt.clientY;
    return pt.matrixTransform(svg.getScreenCTM().inverse());
  }
 
  function createNode(id, cx, cy, w, h, label){
    cx += xOffsetGlobal/scale;
 
    const g = svgEl("g", {"data-id":id});
    const rect = svgEl("rect", {
      class:"node-rect",
      x:(cx-w/2)*scale, y:(cy-h/2)*scale + yOffset,
      width:w*scale, height:h*scale, rx:6, ry:6
    });
 
    const text = svgEl("text", {
      class:"node-text",
      x:cx*scale, y:cy*scale+yOffset,
      "text-anchor":"middle",
      "dominant-baseline":"middle"
    });
    text.textContent = label;
 
    g.appendChild(rect);
    g.appendChild(text);
    svg.appendChild(g);
 
    const node = {id,cx,cy,w,h,rect,text,g};
 
    let dragging=false, start={};
 
    rect.addEventListener("pointerdown", e=>{
      rect.setPointerCapture(e.pointerId);
      dragging=true;
      const p = getSVGcoords(e);
      start = {px:p.x, py:p.y, cx:node.cx, cy:node.cy};
    });
 
    rect.addEventListener("pointermove", e=>{
      if(!dragging) return;
      const p = getSVGcoords(e);
      node.cx = start.cx + (p.x - start.px)/scale;
      node.cy = start.cy + (p.y - start.py)/scale;
      updateNode(node);
      updateAllEdges();
    });
 
    rect.addEventListener("pointerup", e=>{
      dragging=false;
      rect.releasePointerCapture(e.pointerId);
    });
 
    return node;
  }
 
  function updateNode(n){
    n.rect.setAttribute("x",(n.cx-n.w/2)*scale);
    n.rect.setAttribute("y",(n.cy-n.h/2)*scale+yOffset);
    n.text.setAttribute("x",n.cx*scale);
    n.text.setAttribute("y",n.cy*scale+yOffset);
  }
 
  function intersectRectBorder(node, tx, ty){
    const cx=node.cx, cy=node.cy, w2=node.w/2, h2=node.h/2;
    const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
    let pts=[];
 
    if(Math.abs(dx)>1e-9){
      let t1=(-w2)/dx; let y1=cy+t1*dy;
      if(t1>0 && y1>=cy-h2 && y1<=cy+h2) pts.push({x:cx-w2,y:y1,t:t1});
      let t2=(w2)/dx; let y2=cy+t2*dy;
      if(t2>0 && y2>=cy-h2 && y2<=cy+h2) pts.push({x:cx+w2,y:y2,t:t2});
    }
    if(Math.abs(dy)>1e-9){
      let t3=(-h2)/dy; let x3=cx+t3*dx;
      if(t3>0 && x3>=cx-w2 && x3<=cx+w2) pts.push({x:x3,y:cy-h2,t:t3});
      let t4=(h2)/dy; let x4=cx+t4*dx;
      if(t4>0 && x4>=cx-w2 && x4<=cx+w2) pts.push({x:x4,y:cy+h2,t:t4});
    }
    pts.sort((a,b)=>a.t-b.t);
    return pts[0] || {x:cx,y:cy};
  }
 
  function pointOnCircle(cx,cy,R,tx,ty){
    const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
    const d=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
    if(d<1e-9) return {x:cx,y:cy};
    return {x:cx+R*dx/d, y:cy+R*dy/d};
  }
 
  function makeArrowHead(x,y,ux,uy,size){
    let px=-uy, py=ux;
    return `M ${x} ${y}
            L ${x-ux*size+px*size*0.5} ${y-uy*size+py*size*0.5}
            L ${x-ux*size-px*size*0.5} ${y-uy*size-py*size*0.5} Z`;
  }
 
  const edges=[];
 
  function makeConnection(fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset){
    const g=svgEl("g",{});
    const lineA=svgEl("path",{class:"edge-line"});
    const lineB=svgEl("path",{class:"edge-line"});
    const circle=svgEl("circle",{class:"count-circle"});
    const text=svgEl("text",{class:"count-text"});
    const arrow=svgEl("path",{class:"edge-arrow"});
 
    text.textContent=amount;
 
    g.appendChild(lineA);
    g.appendChild(lineB);
    g.appendChild(circle);
    g.appendChild(text);
    g.appendChild(arrow);
    svg.appendChild(g);
 
    let e={fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset,circle,text,lineA,lineB,arrow};
    edges.push(e);
    updateEdge(e);
  }
 
  function updateEdge(e){
    const cx=(e.fromNode.cx+e.toNode.cx)/2+(e.xOffset||0);
    const cy=e.yMid;
    const R=0.14;
 
    const pF=intersectRectBorder(e.fromNode,cx,cy);
    const pT=intersectRectBorder(e.toNode,cx,cy);
 
    const pCircleIn=pointOnCircle(cx,cy,R,pF.x,pF.y);
    const pCircleOut=pointOnCircle(cx,cy,R,pT.x,pT.y);
 
    const px=p=>[p.x*scale, p.y*scale+yOffset];
    const F=px(pF), Ci=px(pCircleIn), Co=px(pCircleOut), T=px(pT);
 
    e.lineA.setAttribute("d",`M ${F[0]} ${F[1]} L ${Ci[0]} ${Ci[1]}`);
    e.lineB.setAttribute("d",`M ${Co[0]} ${Co[1]} L ${T[0]} ${T[1]}`);
 
    e.circle.setAttribute("cx",cx*scale);
    e.circle.setAttribute("cy",cy*scale+yOffset);
    e.circle.setAttribute("r",R*scale);
 
    e.text.setAttribute('x', cx*scale-5);
    e.text.setAttribute('y', cy*scale + yOffset+5);
 
    let ux=T[0]-Co[0], uy=T[1]-Co[1];
    let L=Math.sqrt(ux*ux+uy*uy); if(L<1e-6) L=1;
    ux/=L; uy/=L;
 
    e.arrow.setAttribute("d",makeArrowHead(T[0],T[1],ux,uy,10));
  }
 
  function updateAllEdges(){ edges.forEach(updateEdge); }
 
  // -----------------------------------------------------
  // NODES
  // -----------------------------------------------------
 
  const nodes={};
 
  // Rohstoffe (oben)
  nodes.R1=createNode("R1",0,0.8,1.0,0.5,"R1");
  nodes.R2=createNode("R2",2.5,0.8,1.0,0.5,"R2");
  nodes.R3=createNode("R3",5.0,0.8,1.0,0.5,"R3");
 
  // Zwischenprodukte (Mitte)
  nodes.Z1=createNode("Z1",1.2,3.3,1.0,0.5,"Z1");
  nodes.Z2=createNode("Z2",3.0,3.3,1.0,0.5,"Z2");
 
  // Endprodukte (unten)
  nodes.E1=createNode("E1",0.5,5.8,1.0,0.5,"E1");
  nodes.E2=createNode("E2",2.5,5.8,1.0,0.5,"E2");
  nodes.E3=createNode("E3",4.5,5.8,1.0,0.5,"E3");
 
  // -----------------------------------------------------
  // VERBINDUNGEN
  // gemäß Tabellen:
  // Rohstoffe → Zwischenprodukte
  // R1→Z1: 3  | R1→Z2: 1
  // R2→Z1: 4  | R2→Z2: 2
  // R3→Z1: 0  | R3→Z2: 3
  // Zwischenprodukte → Endprodukte
  // Z1: (E1=2, E2=1, E3=0)
  // Z2: (E1=1, E2=3, E3=2)
  // -----------------------------------------------------
 
  // R1
  makeConnection(nodes.R1,nodes.Z1,"3",1.8,-0.3);
  makeConnection(nodes.R1,nodes.Z2,"1",1.8, 0.4);
 
  // R2
  makeConnection(nodes.R2,nodes.Z1,"4",1.8,-0.2);
  makeConnection(nodes.R2,nodes.Z2,"2",1.8, 0.2);
 
  // R3
  makeConnection(nodes.R3,nodes.Z2,"3",1.8, 0.0);
 
  // Z1 → Endprodukte
  makeConnection(nodes.Z1,nodes.E1,"2",4.6,-0.2);
  makeConnection(nodes.Z1,nodes.E2,"1",4.6, 0.2);
 
  // Z2 → Endprodukte
  makeConnection(nodes.Z2,nodes.E1,"1",4.6,-0.3);
  makeConnection(nodes.Z2,nodes.E2,"3",4.6, 0.0);
  makeConnection(nodes.Z2,nodes.E3,"2",4.6, 0.3);
 
  updateAllEdges();
})();
</script>
 
</html>
 
 
Die vollständigen Mengen seien wie folgt definiert:
 
{| class="wikitable"
!              !! Z1 !! Z2
|-
| '''R1'''    || 3 || 1
|-
| '''R2'''    || 4 || 2
|-
| '''R3'''    || 0 || 3
|}
 
{| class="wikitable"
!              !! E1 !! E2 !! E3
|-
| '''Z1'''    || 2 || 1 || 0
|-
| '''Z2'''    || 1 || 3 || 2
|}
 
Aus diesen Tabellen ergibt sich die **Gozintomatrix Rohstoffe → Endprodukte**, indem die Matrizen miteinander multipliziert werden:
 
:<math>
RZ = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2 \\
0 & 3
\end{pmatrix},
\qquad
ZE = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
</math>
 
:<math>
RE = RZ \cdot ZE
    = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
</math>
 
Berechnung:
 
:<math>
RE =
\begin{pmatrix}
3\cdot2 + 1\cdot1  & 3\cdot1 + 1\cdot3 & 3\cdot0 + 1\cdot2 \\
4\cdot2 + 2\cdot1  & 4\cdot1 + 2\cdot3 & 4\cdot0 + 2\cdot2 \\
0\cdot2 + 3\cdot1  & 0\cdot1 + 3\cdot3 & 0\cdot0 + 3\cdot2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 & 6 & 2 \\
10 & 10 & 4 \\
3 & 9 & 6
\end{pmatrix}
</math>


Die Matrix zeigt, wie viele Tonnen der Rohstoffe \(R_1, R_2, R_3\) jeweils zur Herstellung von 1 Tonne der Endprodukte \(E_1, E_2, E_3\) notwendig sind.
Ein Spielwarenhersteller produziert aus drei Rohstoffen <math>R_1,R_2,R_3</math> zunächst die beiden Zwischenprodukte <math>Z_1,Z_2</math>, aus denen anschließend die drei Endprodukte <math>E_1,E_2,E_3</math> gefertigt werden.
Beispielsweise bedeutet die erste Spalte:


Für 1 Tonne \(E_1\) werden benötigt:
Die Pfeile im Gozintographen geben an, wie viele Mengeneinheiten eines Materials zur Produktion einer Mengeneinheit des entstehenden Produkts benötigt werden.
* 7 Tonnen \(R_1\) 
* 10 Tonnen \(R_2\) 
* 3 Tonnen \(R_3\)


Dies ergibt sich daraus, dass die Zwischenprodukte Z1 und Z2 selbst wiederum aus Rohstoffen bestehen.
Beispiel: Für die Herstellung einer Einheit <math>Z_1</math> werden 3 Einheiten <math>R_1</math> und 4 Einheiten <math>R_2</math> benötigt.


[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Version vom 27. Mai 2026, 10:22 Uhr

Ein Gozintograph (von engl. goes into = „geht hinein“) ist ein gerichteter Graph, der die Zerlegung eines Endprodukts in seine Einzelteile oder Komponenten beschreibt. Jede Kante stellt dabei eine „Gozinto“-Beziehung dar: Sie zeigt von einer Komponente auf das Produkt, in das sie eingeht. Der Gozintograph ist ein zentrales Hilfsmittel in der Produktionsplanung und Stücklistenverwaltung.

Definition

Ein Gozintograph ist ein gerichteter, azyklischer Graph

[math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math]

mit:

  • [math]\displaystyle{ V }[/math] als Menge der Knoten (Produkte oder Komponenten),
  • [math]\displaystyle{ E \subseteq V \times V }[/math] als Menge der gerichteten Kanten.

Zusätzlich besitzt jede Kante ein Gewicht [math]\displaystyle{ a_{ij} \in \mathbb{N} }[/math]. Eine Kante [math]\displaystyle{ (v_i,v_j)\in E }[/math] mit Gewicht [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] bedeutet, dass zur Herstellung des Produkts [math]\displaystyle{ v_j }[/math] genau [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] Einheiten der Komponente [math]\displaystyle{ v_i }[/math] benötigt werden.

Da rekursive Stücklisten ausgeschlossen werden, enthält ein Gozintograph keine Zyklen.

Zusammenhang zu Matrizen

Die Informationen eines Gozintographen lassen sich in einer sogenannten Gozintomatrix darstellen.

Dies ist eine Matrix

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math]

bei der das Element [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] die Anzahl der Einheiten der Komponente [math]\displaystyle{ i }[/math] angibt, die unmittelbar zur Herstellung des Produkts [math]\displaystyle{ j }[/math] benötigt werden.

Unter der Voraussetzung, dass der Gozintograph zyklusfrei ist und [math]\displaystyle{ I-A }[/math] invertierbar ist, kann der Gesamtbedarf aller Komponenten über die Gleichung

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{y} }[/math]

bestimmt werden, wobei:

  • [math]\displaystyle{ \mathbf{y} }[/math] den Vektor der Endprodukte,
  • [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] den Vektor der insgesamt benötigten Komponentenmengen

beschreibt.

Beispiele

Produktion eines Produkts aus Einzelteilen

Im folgenden Beispiel werden fünf Bauteile [math]\displaystyle{ B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 }[/math] aus vier Einzelteilen [math]\displaystyle{ E_1,E_2,E_3,E_4 }[/math] gefertigt. Die Pfeile zeigen, welche Einzelteile in welches Bauteil eingehen. Die Zahlen an den Pfeilen geben die benötigte Stückzahl an.

Die Gozintomatrix zum oberen Gozintographen kann aus folgender Tabelle abgeleitet werden:

B1 B2 B3 B4 B5
E1 2 2 1 2 1
E2 1 1 1 0 0
E3 0 0 1 1 0
E4 0 0 0 1 2

und ist durch

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

gegeben.

Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass zur Herstellung eines Bauteils [math]\displaystyle{ B_1 }[/math]

  • 2 Einheiten von [math]\displaystyle{ E_1 }[/math],
  • 1 Einheit von [math]\displaystyle{ E_2 }[/math],
  • 0 Einheiten von [math]\displaystyle{ E_3 }[/math],
  • 0 Einheiten von [math]\displaystyle{ E_4 }[/math]

benötigt werden.

Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte

Ein Spielwarenhersteller produziert aus drei Rohstoffen [math]\displaystyle{ R_1,R_2,R_3 }[/math] zunächst die beiden Zwischenprodukte [math]\displaystyle{ Z_1,Z_2 }[/math], aus denen anschließend die drei Endprodukte [math]\displaystyle{ E_1,E_2,E_3 }[/math] gefertigt werden.

Die Pfeile im Gozintographen geben an, wie viele Mengeneinheiten eines Materials zur Produktion einer Mengeneinheit des entstehenden Produkts benötigt werden.

Beispiel: Für die Herstellung einer Einheit [math]\displaystyle{ Z_1 }[/math] werden 3 Einheiten [math]\displaystyle{ R_1 }[/math] und 4 Einheiten [math]\displaystyle{ R_2 }[/math] benötigt.

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