Gaußsches Eliminationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssyste|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform oder reduzierte Zeilenstufenform. | Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssyste|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform oder reduzierte Zeilenstufenform. | ||
Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | ||
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* Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. | * Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. | ||
Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems nicht. | Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge des [[Lineares_Gleichungssyste|linearen Gleichungssystems]] nicht. | ||
== Ziel des Verfahrens == | == Ziel des Verfahrens == | ||
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== Beispiele == | == Beispiele == | ||
=== Lösung eines linearen Gleichungssystems === | === Lösung eines [[Lineares_Gleichungssyste|linearen Gleichungssystems]] === | ||
Gegeben sei das System | Gegeben sei das System | ||
:<math> | :<math> | ||