Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

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 == Definition ==
-Eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. Das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) wird mit \(a_{ij}\) bezeichnet.
+Eine Matrix mit \(m \in \mathbb{N}\) Zeilen und \(n \in \mathbb{N}\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. \(a_{ij} \in \mathbb{R}\) ist das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).
 <math>
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 \end{pmatrix}
 </math>
-== Transportmatrix ==
-Eine '''Transportmatrix''' wird in Transport- und Logistikprozessen verwendet. Das Element \(a_{ij}\) gibt an, wie viel Menge von Standort \(i\) zu Standort \(j\) transportiert wird.
-Beispiel:
-<math>
-a_{12} = \text{Menge, die von Standort 1 nach Standort 2 transportiert wird}
-</math>
-== Kostenmatrix ==
-Eine '''Kostenmatrix''' beschreibt Transportkosten zwischen Standorten. Das Element \(a_{ij}\) steht für die Kosten, die entstehen, wenn eine Einheit Ware von Standort \(i\) zu Standort \(j\) transportiert wird.
-== Herstellungsmatrix ==
-Herstellungsmatrizen beschreiben Input-Output-Beziehungen in Produktionsprozessen.
-* \(RZ\)-Matrix: zeigt, wie viele Rohstoffe \(R\) benötigt werden, um Zwischenprodukte \(Z\) herzustellen.
-* \(ZE\)-Matrix: zeigt, wie viele Zwischenprodukte \(Z\) benötigt werden, um Endprodukte \(E\) herzustellen.
 == Einheitsmatrix ==
-Die '''Einheitsmatrix''' \(I\) ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst.
+Die '''Einheitsmatrix''' \(I\) ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale eins und überall sonst null sind.
 <math>
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 == Spaltenvektor ==
-Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit einer Spalte:
+Es seien \(n \in \mathbb{N}\) und \(v_i \in \mathbb{R}\) für \(i=1,...,n\), dann ist der Spaltenvektor \(v\) '''Spaltenvektor''' eine Matrix mit nur einer Spalte. Es gilt
-<math>
+:<math>
 v = \begin{pmatrix}
 v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n
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 == Transponierte Matrix ==
-Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht.
+Es sei
+:<math>
+A = \begin{pmatrix}
+a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
+a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
+\end{pmatrix}
+</math>
+eine \(m \times n\)-Matrix. Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Es gilt
 <math>
-A^T_{ij} = A_{ji}
+A^T = \begin{pmatrix}
-</math>
+a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\
+a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn}
+\end{pmatrix}
+</math>
 == Addition ==
-Zwei Matrizen dürfen nur addiert werden, wenn sie dieselben Dimensionen haben.
+Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
-<math>
+:<math>
-(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
+A + B = \begin{pmatrix}
+a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\
+a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn}
+\end{pmatrix}
 </math>
 == Subtraktion ==
-Analog zur Addition:
+Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
-<math>
+:<math>
-(A - B)_{ij} = A_{ij} - B_{ij}
+A + B = \begin{pmatrix}
+a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
+a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn}
+\end{pmatrix}
 </math>