Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Zuordnung, die jeder Zahl <math>x</math> aus einer Menge genau eine reelle Zahl <math>y</math> zuordnet, heißt '''Funktion'''. Ein <math>x</math>-Wert wird auch als '''Stelle''' bezeichnet. Die einer Zahl <math>x</math> mittels einer Funktion <math>f</math> eindeutig zugeordnete Zahl <math>y</math> heißt '''Funktionswert''' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math>. Ein '''Punkt''' besteht aus <math>x</math>- und <math>y</math>-Wert, wir schreiben <math>(x|y)</math>. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den '''Graph''' der Funktion <math>f</math>.

==Definitions- und Wertebereich

==Definitions- und Wertebereich==

[[Datei:FunktionenDefinitionsbereichWertebereich.png|mini|rechts| Definitions- und Wertebereich aus einer Funktion ablesen]]

Die Menge aller <math>x</math>-Werte, denen durch eine Funktion <math>f</math> ein Funktionswert zugeordnet wird, heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Diese Menge wird meist mit <math>\mathbb{D}_f</math> bezeichnet. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge oder Wertebereich und wird mit <math>\mathbb{W}_f</math> bezeichnet.

===Beispiel===

Wir betrachten den rechten Graphen:

Der Definitionsbereich von <math>𝑓</math> ist das Intervall von <math>x = -2</math> bis <math>x = 6</math>. Also: 𝔻𝑓 = [-2; 6].

Der Wertebereich von <math>𝑓</math> ist das Intervall von <math>y = -4</math> bis <math>y = 4</math>. Also: 𝕎𝑓 = [-4; 4]

===Wichtige Schreibweisen===

Ist eine Funktion <math>f</math> nicht in einem eingeschränkten Bereich, sondern für alle reellen Zahlen <math>x</math> definiert, schreibt man <math>\mathbb{D}_f=\mathbb{R}</math>.

Ist eine Funktion <math>f</math> für alle positiven reellen Zahlen definiert, schreibt man <math>D_f=\mathbb{R}^{>0}</math>. Wir schreiben <math>D_f=\mathbb{R}^{≥0}</math>, wenn die Zahl <math>0</math> miteingeschlossen wird. Auch hier kann man die Intervallschreibweise verwenden: <math>(0;\infty)</math> bzw. <math>[0;\infty)</math>.

Ist eine Funktion <math>f</math> nur für negative Zahlen definiert, schreibt man entsprechend <math>D_f=\mathbb{R}^{<0}</math>. Wird die <math>0</math> miteingeschlossen, schreiben wir <math>D_f=\mathbb{R}^{≤0}</math>. In der Intervallschreibweise bedeutet dies <math>(-\infty;0)</math> bzw. <math>(-\infty;0]</math>.

==Beispiele==

Zeile 37:

Zeile 51:

===Aktienkurs als Funktion darstellen===

Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in GE (Geldeinheiten) für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem Graphen der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9GE</math>. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12. Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.

Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in GE (Geldeinheiten) für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem Graphen der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9GE</math>. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt <math>\mathbb{D}_f=[1;12]</math>. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt <math>\mathbb{W}_f=[1;12]</math> Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.

==Funktionsarten und Themen==

Wir unterscheiden unterschiedlich Arten von Funktionen, Themen und Anwendungen:

===Lineare Funktionen===

Lineare Funktionen werden verwendet

Lineare Funktionen werden verwendet, um eine Gewinnsituation zu modellieren oder um das Angebot- und Nachfrageverhalten auf Märkten zu untersuchen.

===Quadratische Funktionen===

===Ganzrationale Funktionen===

===Differentialrechnung===

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 Eine Zuordnung, die jeder Zahl <math>x</math> aus einer Menge <u>genau eine</u> reelle Zahl <math>y</math> zuordnet, heißt '''Funktion'''. Ein <math>x</math>-Wert wird auch als '''Stelle''' bezeichnet. Die einer Zahl <math>x</math> mittels einer Funktion <math>f</math> eindeutig zugeordnete Zahl <math>y</math> heißt '''Funktionswert''' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math>. Ein '''Punkt''' besteht aus <math>x</math>- und <math>y</math>-Wert, wir schreiben <math>(x|y)</math>. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den '''Graph''' der Funktion <math>f</math>.
-==Definitions- und Wertebereich
+==Definitions- und Wertebereich==
+[[Datei:FunktionenDefinitionsbereichWertebereich.png|mini|rechts|<span style="color:red"> Definitions- </span> und <span style="color:green"> Wertebereich </span> aus einer Funktion ablesen]]
+Die Menge aller <math>x</math>-Werte, denen durch eine Funktion <math>f</math> ein Funktionswert zugeordnet wird, heißt <strong>Definitionsmenge</strong> oder <strong>Definitionsbereich</strong>. Diese Menge wird meist mit <math>\mathbb{D}_f</math> bezeichnet. Die Menge aller Funktionswerte heißt <strong>Wertemenge</strong> oder <strong>Wertebereich</strong> und wird mit <math>\mathbb{W}_f</math> bezeichnet.
+===Beispiel===
+Wir betrachten den rechten Graphen:
+Der <span style="color:red"> Definitionsbereich </span> von <math>𝑓</math> ist das Intervall von <math>x = -2</math> bis <math>x = 6</math>. Also: 𝔻𝑓 = [-2; 6].
+Der <span style="color:green"> Wertebereich </span> von <math>𝑓</math> ist das Intervall von <math>y = -4</math> bis <math>y = 4</math>. Also: 𝕎𝑓 = [-4; 4]
+===Wichtige Schreibweisen===
+Ist eine Funktion <math>f</math> nicht in einem eingeschränkten Bereich, sondern für alle reellen Zahlen <math>x</math> definiert, schreibt man <math>\mathbb{D}_f=\mathbb{R}</math>.
+Ist eine Funktion <math>f</math> für alle positiven reellen Zahlen definiert, schreibt man <math>D_f=\mathbb{R}^{>0}</math>. Wir schreiben <math>D_f=\mathbb{R}^{≥0}</math>, wenn die Zahl <math>0</math> miteingeschlossen wird. Auch hier kann man die Intervallschreibweise verwenden: <math>(0;\infty)</math> bzw. <math>[0;\infty)</math>.
+Ist eine Funktion <math>f</math> nur für negative Zahlen definiert, schreibt man entsprechend <math>D_f=\mathbb{R}^{<0}</math>. Wird die <math>0</math> miteingeschlossen, schreiben wir <math>D_f=\mathbb{R}^{≤0}</math>. In der Intervallschreibweise bedeutet dies <math>(-\infty;0)</math> bzw. <math>(-\infty;0]</math>.
 ==Beispiele==
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 ===Aktienkurs als Funktion darstellen===
-Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in GE (Geldeinheiten) für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem Graphen der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9GE</math>. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12. Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.
+Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in GE (Geldeinheiten) für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem Graphen der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9GE</math>. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt <math>\mathbb{D}_f=[1;12]</math>. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt <math>\mathbb{W}_f=[1;12]</math> Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.
 ==Funktionsarten und Themen==
 Wir unterscheiden unterschiedlich Arten von Funktionen, Themen und Anwendungen:
 ===Lineare Funktionen===
-Lineare Funktionen werden verwendet
+Lineare Funktionen werden verwendet, um eine Gewinnsituation zu modellieren oder um das Angebot- und Nachfrageverhalten auf Märkten zu untersuchen.
 ===Quadratische Funktionen===
 ===Ganzrationale Funktionen===
 ===Differentialrechnung===