Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
-==Beispiele==
+== Beispiele ==
-===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen ===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (**einseitiger Test nach oben**).
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (''einseitiger Test nach oben'').
-**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-:<math>E(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
-**2. Beobachtung:**
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
+Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
-**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**
+'''2. Beobachtung:'''
-Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
-Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
+In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
-* Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
-* Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
-Damit:
+'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
+Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
+Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
+Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
+Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
+Damit:
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
+'''4. Entscheidung:'''
+Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
+Die Nullhypothese wird ''nicht verworfen''.
-**4. Entscheidung:**
-Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
-Die Nullhypothese wird **nicht verworfen**.
 Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
-===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen ===
 Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
+Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
+'''2. Beobachtung:'''
+In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
+Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
+Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
+:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
+Dann:
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
+'''4. Entscheidung:'''
-**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**
+Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
-Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-:<math>E(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
-Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
-**2. Beobachtung:**
+Die Nullhypothese wird ''verworfen'': Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
-In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
-**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**
+=== Anwendungen ===
-Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
-Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
+Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
-:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
-Dann:
+Risikoabschätzung in Versicherungen
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
-**4. Entscheidung:**
+Analyse von Produktionsprozessen
-Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
-Die Nullhypothese wird **verworfen**: Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
-===Anwendungen===
+Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
-* Risikoabschätzung in Versicherungen
-* Analyse von Produktionsprozessen
-* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]