Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Lineare Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der [[Marktanalyse]]. | Lineare Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der [[Marktanalyse]]. | ||
==Betrag einer Zahl== | |||
Der '''Betrag''' einer reellen Zahl a misst den Abstand zu 0 und wird mit <math>|a|</math> abgekürzt. Es gilt <math> | |||
a=\left\{\begin{array}{ll} a, & a \geq 0 \\ | |||
-a, & a<0\end{array}\right. . | |||
</math> | |||
Wir verwenden den Betrag bei der Definition einer quadratischen Funktion. | |||
===Beispiel=== | |||
Es gilt <math>\left|1\right|=1, \left|-2\right|=2, \left|0\right|=0, \left|-1\right|=1, \left|3\right|=3</math>. | |||
==Definition== | ==Definition== | ||
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[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]] | [[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]] | ||
Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>. | Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>. | ||
==Nullstellenform== | |||
Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die Nullstellen sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>. | |||
===Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math>=== | |||
<math>x_1=3</math> und <math>x_2=-4</math> sind Nullstellen von <math>f</math> mit <math>a=1</math>, dann ist <math>f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4)</math> in Nullstellenform. | |||
===Beispiel mit Nullstellen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>=== | |||
<math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> sind Nullstellen von <math>g</math> mit <math>a=-3</math>, dann ist <math>g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6)</math> in Nullstellenform. | |||
==Scheitelpunktform== | |||