Gewinnfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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~~Bei~~ der ~~Gewinnanalyse werden Erlöse,~~ Kosten ~~und Gewinne für ein Produkt mit Hilfe von Funktionen modelliert, graphisch dargestellt und untersucht~~.

Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.

==~~Gewinnfunktion~~==

==Definition==

Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist wie zuvor <math>x \in[0;x_{max}]</math>. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)</math>

===~~Beispiel~~ - Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===

==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==

Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.

==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==

Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt <math>S(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point (BEP)'''. Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.

==Beispiele==

===Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===

Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 18 € pro Fahrrad. Die Produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 30 Stück. Wie hoch ist der Gewinn, falls die Kapazitätsgrenze erreicht wird?

Für die Kostenfunktion gilt <math>K(x)=18x\ +2700</math> mit <math>K_v=18</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v=300</math> und die Erlösfunktion <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion ist also <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K\left(x\right)=300x\ -\left(18x\ +2700\right)=282x-2700</math>. Also ist der Gewinn für die Kapazitätsgrenze <math>G(30)=282 \cdot 30-2700=5760</math> €.

===~~Beispiel -~~ Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten===

===Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten===

Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.

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~~==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==~~

Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.

===~~Beispiel -~~ Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln===

===Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln===

Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> gilt

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für die Gewinnschwelle.

===~~Beispiel -~~ Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung===

===Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung===

[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20</math>]]

Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.

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Zeile 62:

Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite.

==~~Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen~~==

===Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln===

~~Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt <math>S(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point (BEP)'''. Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.~~

~~===Beispiel -~~ Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln===

Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> mit <math>K(x)=18x+2700</math> und <math>E(x)=300x</math> ist <math>x \approx 9,57</math> die Gewinnschwelle (siehe Beispiel Gewinnschwelle). Der Break-Even-Point ergibt sich durch Einsetzen in die Erlösfunktion <math>E(9,57)\approx300\cdot 9,57\approx2872,34</math> und ist damit <math>S(9,57|2872,34)</math>. Alternativ können die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichgesetzt werden:

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Zeile 74:

Der Term im letzten Rechenschritt entspricht genau der Gewinnfunktion. Die restliche Rechnung läuft dann analog zu oben.

~~===Erklärvideo zur Gewinnanalyse mit linearen Funktionen (BEP berechnen)===~~

[[Kategorie:Mathematische]]

[[Kategorie:Gewinnanalyse]]

[[Kategorie:Fachabitur]]

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-Bei der Gewinnanalyse werden Erlöse, Kosten und Gewinne für ein Produkt mit Hilfe von Funktionen modelliert, graphisch dargestellt und untersucht.
+Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.
-==Gewinnfunktion==
+==Definition==
 Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist wie zuvor <math>x \in[0;x_{max}]</math>. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)</math>
-===Beispiel - Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/aQ0J7uPZDJ0?si=gQsaFaVl-BBUPUfA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==
+Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.
+==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==
+Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt <math>S(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point (BEP)'''. Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.
+==Beispiele==
+===Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===
 Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 18 € pro Fahrrad. Die Produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 30 Stück. Wie hoch ist der Gewinn, falls die Kapazitätsgrenze erreicht wird?
 Für die Kostenfunktion gilt <math>K(x)=18x\ +2700</math> mit <math>K_v=18</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v=300</math> und die Erlösfunktion <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion ist also <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K\left(x\right)=300x\ -\left(18x\ +2700\right)=282x-2700</math>. Also ist der Gewinn für die Kapazitätsgrenze <math>G(30)=282 \cdot 30-2700=5760</math> €.
-===Beispiel - Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten===
+===Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten===
 Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.
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 <math>G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
-==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==
-Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.
-===Beispiel - Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln===
+===Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln===
 Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> gilt
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 für die Gewinnschwelle.
-===Beispiel - Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung===
+===Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung===
 [[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20</math>]]
 Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.
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 Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite.
-==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==
+===Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln===
-Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt <math>S(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point (BEP)'''. Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.
-===Beispiel - Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln===
 Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> mit <math>K(x)=18x+2700</math> und <math>E(x)=300x</math> ist <math>x \approx 9,57</math> die Gewinnschwelle (siehe Beispiel Gewinnschwelle). Der Break-Even-Point ergibt sich durch Einsetzen in die Erlösfunktion <math>E(9,57)\approx300\cdot 9,57\approx2872,34</math> und ist damit <math>S(9,57|2872,34)</math>. Alternativ können die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichgesetzt werden:
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 Der Term im letzten Rechenschritt entspricht genau der Gewinnfunktion. Die restliche Rechnung läuft dann analog zu oben.
-===Erklärvideo zur Gewinnanalyse mit linearen Funktionen (BEP berechnen)===
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/aQ0J7uPZDJ0?si=gQsaFaVl-BBUPUfA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 [[Kategorie:Mathematische]]
 [[Kategorie:Gewinnanalyse]]
 [[Kategorie:Fachabitur]]