Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

← Zum vorherigen Versionsunterschied Zum nächsten Versionsunterschied →

VisuellWikitext

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Lineare Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der [[Marktanalyse]].
+Quadratische Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der [[Marktanalyse]].
-==Betrag einer Zahl==
-Der '''Betrag''' einer reellen Zahl a misst den Abstand zu 0 und wird mit <math>|a|</math> abgekürzt. Es gilt <math>
-     a=\left\{\begin{array}{ll} a, & a \geq 0 \\
-         -a, & a<0\end{array}\right. .
-  </math>
-Wir verwenden den Betrag bei der Definition einer quadratischen Funktion.
-===Beispiel===
-Es gilt <math>\left|1\right|=1, \left|-2\right|=2, \left|0\right|=0, \left|-1\right|=1, \left|3\right|=3</math>.
 ==Definition==
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr Graph heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn <math>|a|>1</math> und '''Stauchungsfaktor''', wenn <math>|a|<1</math>.
+Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr Graph heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.
 Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f\left(x\right)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
@@ Zeile 26: / Zeile 17: @@
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/64UjI-hUQIU?si=2PmAymgjsY8d9YsQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/_1k7_zaN4q4?si=tNfzoDlVV4Q2tRmx" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Nullstellen==
-Die '''Nullstellen''' einer quadratischen Funktion <math>{f\left(x\right)=x}^2+px+q</math> werden durch Auflösen der Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> nach <math>x</math> ausgerechnet. Für eine Nachfragefunktion wird die positive Nullstelle auch '''Sättigungsmenge''' genannt. Die Lösung der Gleichung wird mit der '''p-q-Formel''' berechnet: <math>x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}</math>
-Es können keine, eine oder zwei Lösungen existieren.
-===Beispiel pq-Formel anwenden===
-[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNST.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=2x^2+8x+4</math> mit Nullstellen]]
-Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+8x+4</math>. Wir rechnen
-<math>{2x}^2+8x+4=0\ |\ \div2</math>
-<math>x^2+4x+2=0\ </math>
-damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=4</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir einsetzen:
-<math>x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2-\sqrt2\approx-3,41</math>
-und
-<math>x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2+\sqrt2\approx-0,59</math>
-Also hat f die Nullstellen  <math>x_1\approx-3,41</math> und <math>x_2\approx-0,59</math>. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/62W7vkZOsgY?si=OQN3whbksaE9jebQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-===Beispiel Nullstellen ohne pq-Formel berechnen===
-Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden:
-Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x:
-<math>3\left(x-5\right)^2=27\ |\ \div3</math>
-<math>\left(x-5\right)^2=9\ |\ \sqrt{~}</math>
-<math>x-5=9\ \vee x-5=-9\ |+5</math>
-<math>x=14\ \vee x=-4</math>
-Produkt von Nullstellen:
-<math>\left(x-8\right)\left(x+3\right)=0</math>
-<math>x-8=0\ \vee x-3=0</math>
-<math>x=8\ \vee x=3</math>
-Direktes Auflösen nach x:
-<math>7x^2-343=0\ |\ \div7</math>
-<math>x^2-49=0\ |+49</math>
-<math>x^2=49\ \ |\ \sqrt{~}</math>
-<math>x=7 \text{ or } x=-7</math>
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YP3qpsTryrc?si=d2H0Gbv2T4DTI0px" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-===Herleitung p-q-Formel (nur zur Vertiefung)===
-Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> zu bestimmen, rechnet man:
-<math>ax^2+bx+c=0</math>
-<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math>
-<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math>
-<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2)+c=0</math>
-<math>a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0</math>
-<math>a\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}</math>
-<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math>
-Gilt <math>a=1</math>, so erhält man:
-<math>x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math>
 ==Nullstellenform==