Lineare Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Lineare Funktionen sind | Lineare Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die linear miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen. | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
Eine Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion | Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn gilt: <math>d=m \cdot c+b</math>. | ||
===Beispiel lineare Funktion=== | ===Beispiel lineare Funktion=== | ||
[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|Graph von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]] | [[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]] | ||
Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist: | Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist: | ||
<math>y=2x+2</math> | <math>y=2x+2</math> | ||
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==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung== | ==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung== | ||
Sind zwei Punkte <math>P_1(x_1| y_1)</math> und <math>P_2(x_2| y_2)</math> gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls <math>x_1 \neq x_2</math>, ist dies der Graph einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. Die Gleichung der Geraden kann in der '''Punkt-Steigungs-Form''' angegeben werden: | Sind zwei Punkte <math>P_1(x_1| y_1)</math> und <math>P_2(x_2| y_2)</math> gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls <math>x_1 \neq x_2</math>, ist dies der [[Graph]] einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. Die Gleichung der Geraden kann in der '''Punkt-Steigungs-Form''' angegeben werden: | ||
<math>y=m(x-x_1) +y_1 </math> | <math>y=m(x-x_1) +y_1 </math> | ||
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===Beispiel Punktsteigungsform ermitteln=== | ===Beispiel Punktsteigungsform ermitteln=== | ||
[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|Graph von <math>f(x)=1,5x+0</math>]] | [[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]] | ||
Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math> dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist: | Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math> dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist: | ||
<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math> | <math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math> | ||
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===Beispiel Nullstellenberechnung=== | ===Beispiel Nullstellenberechnung=== | ||
[[Datei:LineareFunktionNullstelle.png|mini|Graph zur Nullstelle <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> der Funktion <math>y=2x+1</math>]] | [[Datei:LineareFunktionNullstelle.png|mini|[[Graph]] zur Nullstelle <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> der Funktion <math>y=2x+1</math>]] | ||
Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
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===Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle=== | ===Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle=== | ||
[[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]] | [[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]] | ||
Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
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<math>0= 1 </math> | <math>0= 1 </math> | ||
Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, dieser verläuft parallel zur <math>x</math>-Achse und hat damit keine Nullstellen. | Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am [[Graph|Graphen]] der Funktion, dieser verläuft parallel zur <math>x</math>-Achse und hat damit keine Nullstellen. | ||
===Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen === | ===Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen === | ||
[[Datei:LineareFunktionenUnendlichVieleNullstellen.png|mini|Graph von <math>f:y=0x+0</math> mit unendlich vielen Nullstellen]] | [[Datei:LineareFunktionenUnendlichVieleNullstellen.png|mini|[[Graph]] von <math>f:y=0x+0</math> mit unendlich vielen Nullstellen]] | ||
Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
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<math>0= 0 </math> | <math>0= 0 </math> | ||
Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse. | Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse. | ||
===Graph einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen=== | ===[[Graph]] einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen=== | ||
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