Laufzeitanalyse: Unterschied zwischen den Versionen

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+== Einführung ==
+[[Datei:Laufzeitanalyse asymptotisch.png|mini|Asymptotische Annäherung einer Funktion]]
+Die Laufzeitanalyse untersucht die Zeitkomplexität eines [[Algorithmus]]. Da die reale Ausführungszeit stark von der Hardwareausstattung des Zielsystems abhängt, wird für eine allgemeine, hardwareunabhängige Betrachtung die Anzahl der elementaren [[Anweisung|Befehle]] (Operationen) analysiert, die ein Algorithmus zur Lösung eines Problems benötigt. Diese Anzahl ist abhängig von der Größe der Eingabemenge, deren Umfang auch als '''Problemgröße''' (oft <math>n</math>) bezeichnet wird.
+Für kleine Eingabemengen ist die Analyse häufig von geringerer Bedeutung, da auch ineffiziente [[Algorithmus|Algorithmen]] hier oft ausreichend schnelle Ergebnisse liefern. Entscheidend ist die Betrachtung für sehr große Problemgrößen, insbesondere unter ungünstigen Startbedingungen. Hier spricht man von der asymptotischen [[Programmausführung|Laufzeit]]. In Anlehnung an eine mathematische Asymptote beschreibt sie das Zeitverhalten des Algorithmus für eine potenziell unendlich wachsende Eingabemenge (z. B. eine theoretisch unendlich lange Zahlenfolge beim [[Sortieren]]).
+Lässt sich die Laufzeit eines Algorithmus mathematisch durch eine Funktion beschreiben, wie beispielsweise:
+<math>f(x) = \frac{1}{x} + x</math>
+So nähert sich die rot dargestellte Funktion <math>\color{red}{f(x)}</math> für große <math>x</math> der grün dargestellten Asymptote <math>\color{green}{g(x) = x}</math> an.
+Die Laufzeit wird in Abhängigkeit von der Länge <math>n</math> der Eingabe angegeben und für immer größer werdende <math>n</math> asymptotisch unter Verwendung der Landau-Notation (Groß-O-Notation) abgeschätzt.
+In der Praxis ist die Laufzeitanalyse essenziell, um entscheiden zu können, ob ein Programm bei stark anwachsenden Datenmengen noch performant und wirtschaftlich betrieben werden kann.
+=== Abgrenzung ===
+Es ist wichtig zu betonen, was die asymptotische Laufzeitanalyse '''nicht''' leistet:
+Sie misst nicht den tatsächlichen Zeitaufwand (in Sekunden) eines implementierten Algorithmus auf einem spezifischen Computer für eine konkrete, endliche Eingabemenge.
+== Szenarien der Laufzeitabschätzung ==
+Man unterscheidet bei der Laufzeitabschätzung klassischerweise drei Varianten:
+* Das '''Worst-Case-Szenario''' (schlechtester Fall): Beschreibt diejenige Datenanordnung, die zu einer maximalen Durchlaufzeit des Algorithmus führt. Dies entspricht der oberen Schranke des Problems.
+* Das '''Average-Case-Szenario''' (durchschnittlicher Fall): Beschreibt eine zufällige Problemgröße und Datenanordnung, die zu einer mittleren (erwarteten) Durchlaufzeit führt.
+* Das '''Best-Case-Szenario''' (bester Fall): Beschreibt diejenige Datenanordnung, die zu einer minimalen Durchlaufzeit führt (z. B. eine bereits vollständig sortierte Liste). Dies entspricht der unteren Schranke.
+== Beispiel: Laufzeitanalyse von Insertion Sort ==
+Im Folgenden wird die Laufzeitanalyse beispielhaft anhand des [[Insertion-sort|Insertion Sorts]] (Sortieren durch Einfügen) durchgeführt. Wir betrachten eine mögliche Implementierung in der Programmiersprache [[Java]]. Der Algorithmus arbeitet mit einem [[Array]] als Datenstruktur und verwendet als [[Kontrollstruktur|Kontrollstrukturen]] [[Verzweigung|Verzweigungen]] und [[Schleife|Schleifen]].
+<syntaxhighlight lang="java">
+public void sortierenEinfuegen_MC() {
+    int v, i, j;
+    for (i = 1; i < zSortfeld.length; i++) {
+        c++; // Zähler für Vergleiche
+        if (zSortfeld[i] < zSortfeld[i - 1]) {
+            v = zSortfeld[i];
+            j = i;
+            do {
+                zSortfeld[j] = zSortfeld[j - 1];
+                j--;
+            } while ((j > 0) && (zSortfeld[j - 1] > v));
+            zSortfeld[j] = v;
+        }
+        printAnalyse(i);
+    }
+}
+</syntaxhighlight>
+Wir analysieren nun die drei Szenarien für eine Liste mit <math>n</math> Elementen und betrachten zunächst den Zeitverbrauch für die durchzuführenden Vergleichsoperationen. Den konstanten Zeitverbrauch für einen einzelnen Vergleich bezeichnen wir allgemein mit <math>c</math>.
+=== 1. Best-Case-Szenario (Bester Fall) ===
+Ein Best-Case-Szenario liegt vor, wenn die Liste bereits aufsteigend sortiert ist, beispielsweise:
+<code>[0, 2, 3, 5, 7, 11]</code>
+* '''Verhalten:''' Die äußere <code>for</code>-Schleife durchläuft das Array <math>n - 1</math> Mal. Da das aktuell betrachtete Element stets größer oder gleich seinem Vorgänger ist, ist die Bedingung der <code>if</code>-Anweisung (<code>zSortfeld[i] < zSortfeld[i - 1]</code>) '''immer falsch'''. Die innere <code>do-while</code>-Schleife wird somit nie betreten.
+* '''Aufwand:''' Es findet pro Durchlauf der äußeren Schleife exakt ein Vergleich statt. Der Gesamtaufwand lautet <math>c \cdot (n - 1)</math>.
+* '''Komplexität:''' Für sehr große <math>n</math> wächst der Aufwand linear zur Eingabemenge. Der Insertion Sort hat im Best-Case somit eine Zeitkomplexität von <math>\mathcal{O}(n)</math>.
 == Einführung ==
 [[Datei:Laufzeitanalyse asymptotisch.png|mini|Asymptotische Annäherung einer Funktion]]
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 * '''Verhalten:''' Die <code>if</code>-Bedingung ist hier '''immer wahr'''. Das aktuell betrachtete Element muss in der inneren <code>do-while</code>-Schleife jedes Mal bis ganz an den Anfang des Arrays verschoben werden.
 * '''Aufwand:'''
-  * Beim ersten Durchlauf vergleichen wir nur die 7 mit der 11 (1 Vergleich). Aufwand: <math>c \cdot 1</math>.
+** Beim ersten Durchlauf vergleichen wir nur die 7 mit der 11 (1 Vergleich). Aufwand: <math>c \cdot 1</math>.
-  * Beim zweiten Durchlauf müssen wir das nächste Element mit den zwei bereits sortierten vergleichen. Aufwand: <math>c \cdot 2</math>.
+** Beim zweiten Durchlauf müssen wir das nächste Element mit den zwei bereits sortierten vergleichen. Aufwand: <math>c \cdot 2</math>.
-  * Dies setzt sich fort bis zum letzten Durchlauf, der <math>n - 1</math> Vergleiche erfordert. Aufwand: <math>c \cdot (n - 1)</math>.
+** Dies setzt sich fort bis zum letzten Durchlauf, der <math>n - 1</math> Vergleiche erfordert. Aufwand: <math>c \cdot (n - 1)</math>.
 Der Gesamtaufwand für die Vergleiche entspricht einer [[Arithmetische-reihe|arithmetischen Reihe]] (Gaußsche Summenformel):
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 Für die asymptotische Betrachtung extrem großer Werte von <math>n</math> verwerfen wir den langsamer wachsenden (niederwertigen) Term <math>\frac{c}{2}n</math> sowie die Konstante <math>\frac{c}{2}</math>.
 * '''Komplexität:''' Der Aufwand wächst quadratisch. Der Insertion Sort hat im Worst-Case somit eine Zeitkomplexität von <math>\mathcal{O}(n^2)</math>.
+=== 3. Average-Case-Szenario (Durchschnittlicher Fall) ===
+Das Average-Case-Szenario geht von einer völlig zufälligen Verteilung der Werte im Array aus.
+* '''Verhalten:''' Im Durchschnitt ist das betrachtete Element kleiner als die Hälfte der bereits sortierten Elemente. Die innere Schleife muss das Element also nicht bis ganz an den Anfang, sondern im Mittel nur bis in die Mitte des bisher sortierten Teilbereichs verschieben.
+* '''Aufwand:''' Die Anzahl der Vergleiche und Verschiebungen halbiert sich im Vergleich zum Worst-Case in etwa. Der rechnerische Aufwand läge grob bei <math>\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2}n^2</math>.
+* '''Komplexität:''' Da in der asymptotischen Landau-Notation konstante Faktoren (wie die Halbierung) ignoriert werden, da primär die höchste Potenz das Wachstum dominiert, bleibt es auch hier bei einem quadratischen Wachstum. Die Zeitkomplexität im Average-Case lautet ebenfalls <math>\mathcal{O}(n^2)</math>.
+=== Einfluss weiterer Operationen ===
+Wie beeinflussen Lese- und Schreiboperationen (das tatsächliche Verschieben der Werte im Array) die Zeitkomplexität? Für das Verschieben käme lediglich ein konstanter Aufwand je Vergleich hinzu. Nennen wir diesen Aufwand <math>v</math>. Die angepasste Worst-Case-Funktion lautet dann beispielsweise:
+<math>\frac{v+c}{2}n^2 - \frac{v+c}{2}n</math>
+Auch hier gilt: Für sehr große <math>n</math> werden der niederwertige Term und die konstanten Faktoren ignoriert. Es bleibt bei der Erkenntnis, dass Lese- und Schreibzugriffe die fundamentale Komplexitätsklasse nicht verändern. Das Laufzeitverhalten bleibt asymptotisch in der Klasse <math>\mathcal{O}(n^2)</math>.
+[[Kategorie:Programmierung]]
+[[Kategorie:AHR_I_Informatik_LK]]
 === 3. Average-Case-Szenario (Durchschnittlicher Fall) ===