Arithmetische Reihe

Die Gaußsche Summenformel, auch kleiner Gauß genannt, ist eine Formel für die Summe der ersten [math]\displaystyle{ n }[/math] aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.

Allgemein wird sie in der Mathematik durch die folgende vollständige Formel dargestellt: [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} }[/math]

Geschichte

Diese Summenformel, wie auch die Summenformel für die ersten Quadratzahlen, war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Carl Friedrich Gauß entdeckte diese Formel als neunjähriger Schüler wieder. Die Geschichte ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:

> „Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“ > – Wolfgang Sartorius von Waltershausen

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Erklärung und Herleitung

Wie berechnet man die Summe [math]\displaystyle{ 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 }[/math] möglichst schnell? Man vertauscht die Reihenfolge der Summanden wie folgt:

1. Zuerst addieren wir die größten und kleinsten Werte: [math]\displaystyle{ 8 + 1 = 9 }[/math]
2. Dann berechnen wir die zweitgrößten und zweitkleinsten Werte: [math]\displaystyle{ 7 + 2 = 9 }[/math]
3. Wie wäre es mit [math]\displaystyle{ 6 + 3 }[/math]? Auch [math]\displaystyle{ 9 }[/math].
4. Zuletzt [math]\displaystyle{ 5 + 4 }[/math]. Noch einmal [math]\displaystyle{ 9 }[/math]!

Das Ergebnis lässt sich also deutlich einfacher berechnen: [math]\displaystyle{ (8+1)+(7+2)+(6+3)+(5+4) = 9 + 9 + 9 + 9 = 4 \cdot 9 = 36 }[/math]

Es gibt vier Paare von Zahlen, die sich jeweils zu [math]\displaystyle{ 9 }[/math] addieren. Allgemein kann man mit zwei Schritten jede Folge von aufeinanderfolgenden Ganzzahlen zusammenfassen:

• Füge die kleinste und die größte Zahl hinzu.
• Multipliziere mit der Anzahl der Paare.

Beispiel mit ungerader Anzahl an Summanden

Dies gilt auch für ungleiche Paare. Zählen Sie einfach die ungepaarte Zahl in der Mitte der Sequenz als ein halbes Paar.

Ein Beispiel für die Summe [math]\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 }[/math]: Es gibt zwei volle Paare ([math]\displaystyle{ 1 + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ 2 + 4 }[/math]), die sich jeweils auf [math]\displaystyle{ 6 }[/math] summieren, und ein halbes Paar ([math]\displaystyle{ 3 }[/math], was genau der Hälfte von [math]\displaystyle{ 6 }[/math] entspricht). Das ergibt insgesamt [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] Paare: [math]\displaystyle{ 2,5 \cdot 6 = 15 }[/math]

Allgemeine Formel

Allgemein gilt: Die Summe der kleinsten und größten Summanden ist stets [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math].

Da es insgesamt [math]\displaystyle{ n }[/math] Zahlen gibt, existieren exakt [math]\displaystyle{ \frac{n}{2} }[/math] Paare (unabhängig davon, ob [math]\displaystyle{ n }[/math] ungerade oder gerade ist). Daher ist die Summe der Zahlen von [math]\displaystyle{ 1 }[/math] bis [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ (n + 1) \cdot \frac{n}{2} }[/math]

Dies entspricht ausmultipliziert: [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} }[/math]