Deckungsbeitrag: Unterschied zwischen den Versionen

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 == Beispiele ==
-=== Gewinnermittlung über Deckungsbeiträge ===
+=== Gewinnermittlung mit Matrizenrechnung ===
-Gegeben seien:
+Ein Unternehmen stellt zwei Endprodukte <math>E_1</math> und <math>E_2</math> her und verkauft diese innerhalb einer Rechnungsperiode vollständig.
-* Stückdeckungsbeiträge: <math>db = (329~~141)</math>
-* Produzierte und verkaufte Mengen: <math>m_E = (10~~30)</math>
-* Fixkosten: <math>K_{fix} = 520</math> GE
-Berechnung des Gesamtdeckungsbeitrags:
+Gegeben seien folgende beispielhafte Daten:
-:<math>DB = (329~~141) \cdot (10~~30) = 329 \cdot 10 + 141 \cdot 30 = 7520</math>
+* Verkaufspreise (in GE pro ME):
+:<math>p_E = \begin{pmatrix} 500 \\ 400 \end{pmatrix}</math>
-Berechnung des Gewinns:
+* Variable Stückkosten (in GE pro ME):
+:<math>k_{var} = \begin{pmatrix} 171 \\ 259 \end{pmatrix}</math>
-:<math>G = 7520 - 520 = 7000</math>
+* Produzierte und verkaufte Mengen (in ME):
+:<math>m_E = \begin{pmatrix} 10 \\ 30 \end{pmatrix}</math>
-Der Gewinn der Rechnungsperiode beträgt somit 7000 GE.
+* Fixkosten:
+:<math>K_{fix} = 520 \ \text{GE}</math>
-=== Mehrstufige Produktion ===
+==== Berechnung des Stückdeckungsbeitrags ====
-Ein Betrieb verarbeitet Materialien (M₁, M₂, M₃) zu Zwischenprodukten (Z₁, Z₂, Z₃), die anschließend zu Endprodukten (E₁, E₂, E₃) weiterverarbeitet werden.
+Der Stückdeckungsbeitrag ergibt sich als Differenz von Verkaufspreis und variablen Kosten:
+:<math>db = p_E - k_{var}</math>
+:<math>db = \begin{pmatrix} 500 \\ 400 \end{pmatrix}
+- \begin{pmatrix} 171 \\ 259 \end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix} 329 \\ 141 \end{pmatrix}</math>
+Interpretation:
+* Eine ME von <math>E_1</math> trägt 329 GE zur Deckung der Fixkosten bei.
+* Eine ME von <math>E_2</math> trägt 141 GE zur Deckung der Fixkosten bei.
+==== Berechnung des Gesamtdeckungsbeitrags ====
+Der Gesamtdeckungsbeitrag ist das Skalarprodukt aus Stückdeckungsbeitragsvektor und Mengenvektor:
+:<math>DB = db^\top \cdot m_E</math>
+:<math>DB =
+\begin{pmatrix} 329 & 141 \end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix} 10 \\ 30 \end{pmatrix}
+= 329 \cdot 10 + 141 \cdot 30 = 7520 \ \text{GE}</math>
+==== Berechnung des Gewinns ====
+:<math>G = DB - K_{fix} = 7520 - 520 = 7000 \ \text{GE}</math>
+Der Gewinn der Rechnungsperiode beträgt somit '''7000 GE'''.
+=== Mehrstufige Produktion mit Matrizenrechnung ===
+Ein Betrieb verarbeitet die Rohmaterialien <math>M_1</math>, <math>M_2</math> und <math>M_3</math> zunächst zu den Zwischenprodukten <math>Z_1</math>, <math>Z_2</math> und <math>Z_3</math>. Diese Zwischenprodukte werden anschließend zur Herstellung der Endprodukte <math>E_1</math>, <math>E_2</math> und <math>E_3</math> verwendet.
+Die folgenden Tabellen geben an, wie viele Mengeneinheiten (ME) jeweils benötigt werden.
+==== Materialbedarf je Zwischenprodukt ====
+{| class="wikitable"
+! !! Z₁ !! Z₂ !! Z₃
+|-
+! M₁
+| 1 || 4 || 3
+|-
+! M₂
+| 2 || 2 || 4
+|-
+! M₃
+| 2 || 2 || 2
+|}
+==== Bedarf an Zwischenprodukten je Endprodukt ====
+{| class="wikitable"
+! !! E₁ !! E₂ !! E₃
+|-
+! Z₁
+| 2 || 3 || 4
+|-
+! Z₂
+| 1 || 2 || 2
+|-
+! Z₃
+| 2 || 1 || 2
+|}
 Weitere Angaben:
 * Verkaufspreise der Endprodukte: 2000 GE pro ME
 * Fixkosten: 40.000 GE
 * Materialkosten:
-** M₁: 10 GE/ME
+** <math>M_1</math>: 10 GE/ME
-** M₂: 15 GE/ME
+** <math>M_2</math>: 15 GE/ME
-** M₃: 20 GE/ME
+** <math>M_3</math>: 20 GE/ME
 * Fertigungskosten der Zwischenprodukte:
-** Z₁: 80 GE/ME
+** <math>Z_1</math>: 80 GE/ME
-** Z₂: 100 GE/ME
+** <math>Z_2</math>: 100 GE/ME
-** Z₃: 120 GE/ME
+** <math>Z_3</math>: 120 GE/ME
 * Fertigungskosten der Endprodukte:
-** E₁: 410 GE/ME
+** <math>E_1</math>: 410 GE/ME
-** E₂: 510 GE/ME
+** <math>E_2</math>: 510 GE/ME
-** E₃: 620 GE/ME
+** <math>E_3</math>: 620 GE/ME
+In der letzten Rechnungsperiode wurden produziert und verkauft:
+:<math>m_E = \begin{pmatrix} 130 \\ 175 \\ 150 \end{pmatrix} \ \text{ME}</math>
+----
+==== a) Gewinnberechnung mit Matrizenrechnung ====
+Zunächst werden die Materialkostenvektoren und Matrizen aufgestellt.
+Materialkostenvektor:
+:<math>k_M = \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix}</math>
+Materialbedarfsmatrix:
+:<math>A =
+\begin{pmatrix}
+& 4 & 3 \\
+& 2 & 4 \\
+& 2 & 2
+\end{pmatrix}</math>
+Kosten der Zwischenprodukte pro ME:
+:<math>k_Z = A^\top \cdot k_M +
+\begin{pmatrix} 80 \\ 100 \\ 120 \end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix} 160 \\ 200 \\ 200 \end{pmatrix} \ \text{GE}</math>
+Zwischenproduktbedarfsmatrix:
+:<math>B =
+\begin{pmatrix}
+& 3 & 4 \\
+& 2 & 2 \\
+& 1 & 2
+\end{pmatrix}</math>
+Variable Kosten der Endprodukte:
+:<math>k_{var} = B^\top \cdot k_Z +
+\begin{pmatrix} 410 \\ 510 \\ 620 \end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix} 1170 \\ 1310 \\ 1540 \end{pmatrix}</math>
+Stückdeckungsbeiträge:
+:<math>db = p_E - k_{var}
+= \begin{pmatrix} 2000 \\ 2000 \\ 2000 \end{pmatrix}
+- \begin{pmatrix} 1170 \\ 1310 \\ 1540 \end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix} 830 \\ 690 \\ 460 \end{pmatrix}</math>
+Gesamtdeckungsbeitrag:
+:<math>DB = db^\top \cdot m_E
+= 830 \cdot 130 + 690 \cdot 175 + 460 \cdot 150
+= 298{.}250 \ \text{GE}</math>
+Gewinn:
+:<math>G = DB - K_{fix}
+= 298{.}250 - 40{.}000
+= 258{.}250 \ \text{GE}</math>
+----
+==== b) Entscheidung über die Produktion von E₃ ====
+Der Stückdeckungsbeitrag von <math>E_3</math> beträgt lediglich 460 GE pro ME und ist deutlich geringer als bei <math>E_1</math> und <math>E_2</math>.
-Auf Basis der Produktions- und Absatzmengen lassen sich die variablen Kosten, Stückdeckungsbeiträge, der Gesamtdeckungsbeitrag sowie der Gewinn ermitteln. Zusätzlich kann mithilfe der Deckungsbeiträge beurteilt werden, ob die Produktion einzelner Produkte (z. B. E₃) wirtschaftlich sinnvoll ist.
+Da der Deckungsbeitrag jedoch positiv ist, leistet <math>E_3</math> weiterhin einen Beitrag zur Fixkostendeckung. Eine Einstellung der Produktion wäre nur dann sinnvoll, wenn Kapazitätsengpässe bestehen oder alternative Produkte mit höherem Stückdeckungsbeitrag produziert werden könnten.
-[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
+Aus Sicht der Deckungsbeitragsrechnung sollte die Produktion von <math>E_3</math> daher '''nicht eingestellt''' werden.
-[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]