Varianz (Statistik): Unterschied zwischen den Versionen

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Wurden [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.

Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.

==Definition==

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[~~Arithmetisches_Mittel~~|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^1+(~~x_1~~-\bar{x})^2+~~...~~+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}</math> '''Varianz'''.

==Varianz und Häufigkeiten==

Es ~~sei~~ <math>~~a_i~~</math> die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Definition~~|~~absolute Häufigkeit~~]] ~~der~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|~~Merkmalsausprägung~~]] ~~<math>x_i</math> eines~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|~~quantitativen Merkmals~~]] ~~mit~~ <math>n,~~a_i~~\in\mathbb{N}</math>, <math>~~i \in \{1,...,~~n\}</math>, <math>~~x_i \in~~ \~~mathbb~~{R}~~</math> und <math>\bar~~{x}</math> ~~das~~ [[~~Arithmetisches_Mittel~~|~~arithmetische~~ Mittel]]~~. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Erhebungsumfang]] ist~~ <math>n</math>~~. Der~~ Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (~~x_1~~-\bar{x})^2+~~...~~+~~a_n~~ \cdot (~~x_n~~-\bar{x})^n}{n}</math> ~~heißt~~ '''Varianz'''.

Es seien <math>x_1, x_2, \dots, x_k</math> die verschiedenen [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] eines [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit den jeweiligen [[Häufigkeit#Definition|absoluten Häufigkeiten]] <math>a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N}</math>. Der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Erhebungsumfang]] sei <math>n</math>, wobei <math>\sum_{i=1}^{k} a_i = n</math> gilt. Mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> heißt der Wert

'''Varianz'''.

==Standardabweichung==

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s=\sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s = \sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.

==Beispiele==

===Varianz und Standardabweichung berechnen===

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|Urliste]]. Die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. ~~Es wird für~~ das [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm die Varianz berechnet.

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Urliste]]. Die [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. Für das [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm wird die Varianz berechnet.

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#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.

# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.

#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.

# Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\~~approx172~~,33</math>

# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33</math>.

#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(183-172,33)^2+(172-172,33)^2+(163-172,33)^2+(154-172,33)^2+(158-172,33)^2+(166-172,33)^2+(177-172,33)^2+(188-172,33)^2+(190-172,33)^2}{9}\approx 151,23</math>

# Die Varianz ist <math>s^2 = \frac{(183 - 172{,}33)^2 + (172 - 172{,}33)^2 + (163 - 172{,}33)^2 + (154 - 172{,}33)^2 + (158 - 172{,}33)^2 + (166 - 172{,}33)^2 + (177 - 172{,}33)^2 + (188 - 172{,}33)^2 + (190 - 172{,}33)^2}{9} \approx 151{,}23</math>.

#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{151,23} \approx 12,29</math>

# Die Standardabweichung ist <math>s = \sqrt{151{,}23} \approx 12{,}29</math>.

===Varianz und Standardabweichung mit Häufigkeiten berechnen===

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#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190~~; 154~~.

# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.

#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.

# Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.

#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.

# Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.

#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.

# Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170,5</math>

# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170{,}5</math>.

#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{2 \cdot (154-170,5)^2+(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,~~5)^2+(190-170,~~5)^2}{10} =~~177~~,25</math>

# Die Varianz ist <math>s^2 = \frac{2 \cdot (154 - 170{,}5)^2 + (183 - 170{,}5)^2 + (172 - 170{,}5)^2 + (163 - 170{,}5)^2 + (158 - 170{,}5)^2 + (166 - 170{,}5)^2 + (177 - 170{,}5)^2 + (188 - 170{,}5)^2 + (190 - 170{,}5)^2}{10} = 166{,}45</math>.

#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{~~177~~,25} \approx 13,31</math>

# Die Standardabweichung ist <math>s = \sqrt{166{,}45} \approx 12{,}90</math>.

Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.

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-Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.
+Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.
 ==Definition==
-Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches_Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^1+(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.
+Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}</math> '''Varianz'''.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Varianz und Häufigkeiten==
-Es sei <math>a_i</math> die [[H%C3%A4ufigkeit#Definition|absolute Häufigkeit]] der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägung]] <math>x_i</math> eines [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math>, <math>x_i \in \mathbb{R}</math> und <math>\bar{x}</math> das [[Arithmetisches_Mittel|arithmetische Mittel]]. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Erhebungsumfang]] ist <math>n</math>. Der Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (x_1-\bar{x})^2+...+a_n \cdot (x_n-\bar{x})^n}{n}</math> heißt '''Varianz'''.
+Es seien <math>x_1, x_2, \dots, x_k</math> die verschiedenen [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] eines [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit den jeweiligen [[Häufigkeit#Definition|absoluten Häufigkeiten]] <math>a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N}</math>. Der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Erhebungsumfang]] sei <math>n</math>, wobei <math>\sum_{i=1}^{k} a_i = n</math> gilt. Mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> heißt der Wert
+<math>s^2 = \frac{a_1 \cdot (x_1 - \bar{x})^2 + a_2 \cdot (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + a_k \cdot (x_k - \bar{x})^2}{n}</math>
+'''Varianz'''.
 ==Standardabweichung==
-Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s=\sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.
+Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s = \sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.
 ==Beispiele==
 ===Varianz und Standardabweichung berechnen===
-Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Urliste]]. Die [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm die Varianz berechnet.
+Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Urliste]]. Die [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. Für das [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm wird die Varianz berechnet.
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-#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.
+# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
-#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
+# Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
-#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33</math>
+# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33</math>.
-#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(183-172,33)^2+(172-172,33)^2+(163-172,33)^2+(154-172,33)^2+(158-172,33)^2+(166-172,33)^2+(177-172,33)^2+(188-172,33)^2+(190-172,33)^2}{9}\approx 151,23</math>
+# Die Varianz ist <math>s^2 = \frac{(183 - 172{,}33)^2 + (172 - 172{,}33)^2 + (163 - 172{,}33)^2 + (154 - 172{,}33)^2 + (158 - 172{,}33)^2 + (166 - 172{,}33)^2 + (177 - 172{,}33)^2 + (188 - 172{,}33)^2 + (190 - 172{,}33)^2}{9} \approx 151{,}23</math>.
-#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{151,23} \approx 12,29</math>
+# Die Standardabweichung ist <math>s = \sqrt{151{,}23} \approx 12{,}29</math>.
 ===Varianz und Standardabweichung mit Häufigkeiten berechnen===
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-#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190; 154.
+# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
-#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
+# Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
-#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
+# Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
-#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
+# Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
-#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170,5</math>
+# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170{,}5</math>.
-#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{2 \cdot (154-170,5)^2+(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,5)^2+(190-170,5)^2}{10} =177,25</math>
+# Die Varianz ist <math>s^2 = \frac{2 \cdot (154 - 170{,}5)^2 + (183 - 170{,}5)^2 + (172 - 170{,}5)^2 + (163 - 170{,}5)^2 + (158 - 170{,}5)^2 + (166 - 170{,}5)^2 + (177 - 170{,}5)^2 + (188 - 170{,}5)^2 + (190 - 170{,}5)^2}{10} = 166{,}45</math>.
-#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{177,25} \approx 13,31</math>
+# Die Standardabweichung ist <math>s = \sqrt{166{,}45} \approx 12{,}90</math>.
 Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.

Varianz (Statistik): Unterschied zwischen den Versionen

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